Aprende con Inteligencia

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{1/2}^{2} \log \left( \frac{\log(x + \frac{1}{x})}{\log(x^2 - x + \frac{17}{4})} \right) dx = -\frac{3}{2} \log 2 $$

Paso 1:
Demuestre que la normal a una parábola en cualquiera de sus puntos $P_0$ biseca el ángulo incluido por el radio focal de $P_0$ y la línea que pasa por $P_0$ paralela al eje de la parábola.

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{(2 + 3 \cos x)^2} $$

Una circunferencia de centro en $(4,0)$ y radio 4 intersecta a otra circunferencia de centro en $(0,0)$ de radio "h" con $0 < h < 8$. Sea el punto $A(8,0)$ y $B$ el punto de intersección de ambas circunferencias, sea $L$ la recta que pasa por $A$ y $B$ que intersecta al eje de ordenadas en el punto $E$, si $O$ es el origen.

1. Calcule $\overline{OE}$ en función de "$h$".
2. Calcule $\lim_{h \to 0} \frac{\overline{OE}}{h}$.

Paso 1:
Cualquier entero positivo $m$ puede escribirse de forma única en base 3. Sea $c(m)$ la suma de los cubos de los dígitos de $m$ en base 3. Sea $n$ cualquier entero positivo fijo. Define la sucesión $(u_r)$ por $u_1 = n$ y $u_r = c(u_{r-1})$ para $r \ge 2$. Demuestra que existe un entero positivo $r$ para el cual $u_r = 1, 2$ o $17$.

Paso 1:
Tenemos dos tanques, uno lleno con glicerina pura y el otro con agua. Usando dos cucharones de tres litros, uno para sacar glicerina del primer tanque y el otro para sacar agua del segundo tanque, se transfirió glicerina del primer tanque al segundo, y una cucharada del contenido del segundo se transfirió al primer tanque. Las mezclas se agitaron en ambos tanques y la operación se repitió. Como resultado, la mitad del volumen del primer tanque era glicerina pura. Encuentre las capacidades de los tanques si su capacidad total es 10 veces la capacidad del primer tanque.