Aprende con Inteligencia

Hallar la expresión abreviada de $y''$ si se conoce:
$$\ln\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2}\right) + \arctan\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = 8$$

Después de graficar $(f \circ g)(x)$ hallar su función inversa, donde:
$$f(x) = \sqrt{x} \quad ; \quad g(x) = x - \lfloor x \rfloor$$
En el intervalo $0 \leq x \leq 5$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x - y + z = 6 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 - y^3 + z^3 = 36 \end{cases} $$

Resuelve la ecuación:
$$|x^2 + 2x| - |2 - x| = |x^2 - x|$$

Paso 1:
Encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para la función $f(x) = x^2 - 4x$.

Calcular la integral indefinida:
$$ \int \frac{\sqrt{(x^6+1)(x^2+1)}}{x^3} \, dx $$

Paso 1:
A partir de $\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$, demuestre que $\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ y $\displaystyle \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{3(y'')^2 - y'y'''}{(y')^5}$.

Demostrar que para todo $a \in \mathbb{R}$:
$$1 + 2a^4 \geq a^2 + 2a^3$$

Resuelva:
$$\int_0^\pi \frac{2 \cos(x) - \cos(2021x) - 2\cos(2022x) - \cos(2023x) + 2}{1-\cos(2x)} \, dx$$

Resolver la ecuación:
$$ \sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac{29}{64} $$

Calcular el valor del siguiente determinante de orden $r$:
$$E = \begin{vmatrix} 1 & C_1^n & C_2^n & \dots & C_{r-1}^n \\ 1 & C_1^{n+1} & C_2^{n+1} & \dots & C_{r-1}^{n+1} \\ 1 & C_1^{n+2} & C_2^{n+2} & \dots & C_{r-1}^{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & C_1^{n+r-1} & C_2^{n+r-1} & \dots & C_{r-1}^{n+r-1} \end{vmatrix}$$

a) $n$      b) $r$      c) $1$      d) $n - r$      e) $n + r$

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{0}^{2026} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2026k+2025}}{k!} \right) dx $$