Aprende con Inteligencia

Hallar el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \right]$$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \cos^2 y + 3 \sin x \sin y = 0 \\ 21 \cos 2x - \cos 2y = 10 \end{cases} $$

Dadas las relaciones:
$$ \begin{cases} P.A.: \log_a x, \log_b y, \log_c z \\ P.G.: x, y, z \end{cases} $$
Calcular el valor que debe tomar el logaritmo de "$z$" en base "$x$".

Demostrar que:
$$ \tan^6 \left( \frac{\pi}{9} \right) - 33 \tan^4 \left( \frac{\pi}{9} \right) + 27 \tan^2 \left( \frac{\pi}{9} \right) = 3 $$

Paso 1:
Calcule $\tan \frac{\alpha}{2}$ si $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{2}$ y $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$.

Resuelve la siguiente ecuación:
$$32x^3 - 24x^2 - 12x - 77 = 0$$

3.- (20 Pts) Hallar la primera derivada por definición si:
$$y = x e^{\sqrt{x}}$$

Demostrar que:
$$ \sqrt{1 - \sin 2\theta} + \sqrt{1 - \sin 4\theta} + \sqrt{1 - \sin 6\theta} + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} $$
$$ = \frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} \times \left[ \cos(n+1)\frac{\theta}{2} - \sin(n+1)\frac{\theta}{2} \right] $$
(Nota: Se asume que los términos de la raíz se simplifican como $\cos k\theta - \sin k\theta$).

Paso 1:
Pruebe que la normal a una elipse en cualquiera de sus puntos $P_0$ biseca el ángulo incluido por los radios focales de $P_0$.

Resolver la integral definida de la función definida por la fracción continua infinita:
$$ \int_{1}^{3} \frac{1 + \frac{1 + \dots}{x + \dots}}{x + \frac{1 + \dots}{x + \dots}} \, dx $$

Demostrar que:
$$ \tan \frac{\pi}{7} \tan \frac{2\pi}{7} \tan \frac{3\pi}{7} = \sqrt{7} $$

Demostrar que:
$$ \sin^3 \alpha + \sin^3 \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \sin^3 \left( \frac{4\pi}{3} + \alpha \right) = -\frac{3}{4} \sin 3\alpha $$