Aprende con Inteligencia

Resuelva:
$$\int_0^\pi \frac{2 \cos(x) - \cos(2021x) - 2\cos(2022x) - \cos(2023x) + 2}{1-\cos(2x)} \, dx$$

Demostrar que:
$$ \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1 $$
*(Nota: El enunciado original tenía un error tipográfico escribiendo \text{cot 3x cot 2x} dos veces; se corrige a la identidad estándar de cotangentes para ángulos que suman $3x$)*.

Evalúe el valor de la expresión $R$ dadas las condiciones para $u$ y $v$:
$$R = \frac{uv - \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}{uv + \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}$$
Sabiendo que:
$$u = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right), \quad v = \frac{1}{2}\left( b + \frac{1}{b} \right)$$
Donde $a \geq 1$ y $b \geq 1$.

Paso 1:
Hallar: (a) $\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha$; (b) $\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha$; (c) $\tan \alpha - \cot \alpha$ si se sabe que $\tan \alpha + \cot \alpha = m$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}+2}} $$

Paso 1:
Al final de un año, una caja de ahorros calculó el interés debido al depositante como 6 rublos. Añadiendo otros 44 rublos, el depositante dejó su dinero por otro año. Al final del segundo año, el interés debido se calculó una vez más, y ahora el depósito junto con todo el interés debido ascendía a 257 rublos y 50 kopeks. ¿Cuánto dinero se depositó originalmente?

Integre la función:
$$\int (1 + \log x) \log(\log x) dx$$

Probar que:
$$ (\cos A + \cos B)^2 + (\sin A + \sin B)^2 = 4 \cos^2 \left( \frac{A - B}{2} \right) $$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{6 + x - 3x^2} $$

La suma de los cuatro primeros términos de una P.G. de 7 términos es 200; la suma de los cuatro últimos es 5400. Encuentre la suma de todos sus términos.
\text{Resp. } 5465

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x + 1)^3 \sqrt{x^2 + 2x + 4}} $$

Paso 1:
601. Un recipiente de 12 litros se llenó de ácido. Parte del ácido se vertió de este recipiente a otro de la misma capacidad, y el segundo recipiente se llenó de agua. Después de esto, el primer recipiente se rellenó con la solución del segundo recipiente. Luego se vertieron 4 litros de la solución del primer recipiente al segundo, resultando en que las soluciones de ambos recipientes contienen cantidades iguales de ácido puro. ¿Cuánto ácido se vertió originalmente del primer recipiente al segundo?