Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Tres números cuya suma es $93$ forman una progresión geométrica. Estos mismos números pueden entenderse también como el primer, segundo y séptimo término de una progresión aritmética. Halle estos tres números.

Resolver la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{x^{2024} - x^{4047}} $$

Paso 1:
51. $f(x) = \sqrt{2 - 3x^2}$; hallar $f''(x)$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{m}{1-x^m} - \frac{n}{1-x^n} \right]$$

Resuelva el sistema de ecuaciones para valores reales de $x$ e $y$:
$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ x^2 - y^2 = 32 \end{cases} $$

Paso 1:
Simplificar: $E = \frac{(\cos x - 4 \cos^2 x \cos 2x \sin x)(\sin 3x - \sin x)}{\sin x \cos x (2 \sin x (\sin x + \cos x - 1)^2)}$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \sec^7 x \, dx $$

Evaluar la integral que involucra la cardinalidad del conjunto de las partes enteras de las funciones trigonométricas básicas:
$$ \int_{0}^{2\pi} \left| \{ \lfloor \sin x \rfloor, \lfloor \cos x \rfloor, \lfloor \tan x \rfloor, \lfloor \cot x \rfloor \} \right| \, dx $$
Donde $|\{ \dots \}|$ denota el número de elementos distintos en el conjunto.

Examine cada una de las siguientes funciones para determinar sus valores máximos y mínimos relativos, utilizando el criterio de la primera derivada:

1. [(a)] $f(x) = x^2 + 2x - 3$
2. [(b)] $f(x) = 3 + 2x - x^2$
3. [(c)] $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} x - y = a \\ 2(\cos 2x + \cos 2y) = 1 + 4\cos^2(x-y) \end{cases} $$

Assertion (A): $\cos^2 \alpha + \cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = 3 \cos \alpha \cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right)$.

Reason (R): Si $a + b + c = 0$, entonces $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

(a) A (b) B (c) C (d) D

Calcular el valor de la incógnita $y$ después de resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$ \begin{cases} ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \\ a^3x + b^3y + c^3z = d^3 \end{cases} $$