Aprende con Inteligencia

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 1 \\ \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{y}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} \end{cases} $$

Paso 1:
Una carga fue entregada del punto $A$ al punto $B$. Primero fue transportada por una camioneta y luego por un camión. La distancia entre el lugar donde se transfirió la carga y el punto $B$ es un tercio de la distancia entre dicho lugar y el punto $A$. El tiempo que tomó llevar la carga de $A$ a $B$ es el mismo que habría tomado si se hubiera llevado directamente a $64 \text{ km/h}$. ¿A qué velocidad viajó el camión si se sabe que la velocidad de la camioneta no superó los $75 \text{ km/h}$? Además, si la camioneta y el camión hubieran partido de $A$ y $B$ para encontrarse, se habrían encontrado en un tiempo igual al que habría tardado la carga en ir de $A$ a $B$ a $120 \text{ km/h}$.

Paso 1:
Si $\sqrt{2} \cos A = \cos B + \cos^3 B$ y $\sqrt{2} \sin A = \sin B - \sin^3 B$, demostrar que $\sin(A - B) = \pm \frac{1}{3}$.

Demuestre que el valor de la siguiente integral impropia es $1/4$:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2(2^x) \cos^2(3^x) \left( 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 \right) \, dx = \frac{1}{4} $$

Resolver para $x$:
$$ 2 \cos(a + x) = \frac{\cos a}{\cos x} $$

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triángulo. Demuestre que:
$\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z = 2$

Calcule el valor de la integral definida:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}+1} \sin(x - \sin(x - \sin(x - \dots))) dx$$

Demostrar que:
$$ \tan^6 \left( \frac{\pi}{9} \right) - 33 \tan^4 \left( \frac{\pi}{9} \right) + 27 \tan^2 \left( \frac{\pi}{9} \right) = 3 $$

Evalúe:
$$\int_0^1 \prod_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 + x^{2^k}} \right) dx$$

Calcule el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 2\pi} \cot^2 x \cdot \left( \sqrt{2\cos^2 x + 3\cos x + 4} - \sqrt{\cos^2 x + 6\cos x + 2} \right)$$

Paso 1:
Se tienen escritas cuatro fracciones, sus numeradores están en P.A. y sus denominadores en P.G., ambas de razón 3. El producto de las dos fracciones extremas es 10/189 y la suma de las otras dos es 5/9. Halle la suma de los miembros de la tercera fracción.

En un triángulo $ABC$, donde $A+B+C = \pi$, relacione las columnas:

\begin{array}{|l|l|}
\hline
Columna I & Columna II \\
\hline
(A) \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C & (P) 4 \sin A \sin B \sin C \\
\hline
(B) \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C & (Q) -1 - 4 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
(C) \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C & (R) 2 + 2 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
(D) \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C & (S) 1 - 2 \cos A \cos B \cos C \\
\hline
\end{array}