Aprende con Inteligencia

Demuestre que:
$$ \cos^4 \left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos^4 \left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos^4 \left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos^4 \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{3}{2} $$
Nota: Se asume que el problema original propone la suma de términos distintos como $\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}$.

Si $\alpha$ es una raíz repetida de una ecuación cuadrática $f(x) = 0$ y $A(x)$, $B(x)$ y $C(x)$ son polinomios de grado 3, 4 y 5, respectivamente, demuestre que el determinante:
$$ \Delta(x) = \begin{vmatrix} A(x) & B(x) & C(x) \\ A(\alpha) & B(\alpha) & C(\alpha) \\ A'(\alpha) & B'(\alpha) & C'(\alpha) \end{vmatrix} $$

Halle el límite:
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_{-1/2}^{1/2} (1-3x^2+x^4)^n dx$$

Calcular el siguiente límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{2} (1 + 6x - 7x^2 + 4x^3 - x^4)^n \, dx} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x + 2)^5 (x + 1)^3}} $$

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triangulo. Demuestre que:
$\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\text{sen } x + \cos x}{\frac{1}{3}(a^x + b^x + c^x)} \right]^{\frac{1}{x}}$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sec^{9} x \, dx$

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right) (1 + \sin 2x) \, dx $$

Calcule el límite:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \int_0^n \cos^2 \left( \frac{\pi x^2}{\sqrt{2}} \right) dx \right)$$

Paso 1:
Evaluar: \int \frac{dx}{x \sqrt[3]{1 + x^5}}

Demuestre que:
(i) $\tan 15^\circ + \cot 15^\circ = 4$
(ii) $\tan 75^\circ + \cot 75^\circ = 4$
(iii) $\cot 15^\circ - \tan 15^\circ = 2\sqrt{3}$
(iv) $\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = 2\sqrt{3}$