Aprende con Inteligencia

Demostrar la siguiente identidad:
$$ \arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

Paso 1:
Hallar: (a) $\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha$; (b) $\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha$; (c) $\tan \alpha - \cot \alpha$ si se sabe que $\tan \alpha + \cot \alpha = m$.

Dos compañeros, al tener una sola bicicleta, partieron en el mismo instante del punto A hacia el punto B; el primero de ellos se fue en bicicleta y el segundo a pie. A cierta distancia de A el primero dejó la bicicleta en el camino y llegó caminando a B. El segundo, al llegar donde estaba la bicicleta, siguió en ésta. Ambos amigos llegaron juntos a B. En el camino de regreso del punto B al punto A procedieron de igual forma, pero el primer compañero recorrió en bicicleta un kilómetro más que la vez primera. Por esto el segundo amigo llegó al punto A 21 minutos más tarde que el primero. Determinar la velocidad de marcha del primero si en bicicleta van a una velocidad de 20 km/h y caminando, la velocidad del primero en 3 minutos por Km es mayor que la del segundo.

a) 5 km/h      b) 4 km/h      c) 3 km/h      d) 2 km/h      e) 7 km/h

Paso 1:
Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$, la expresión $(2^{5n+3} + 5^n \times 3^{n+2})$ es divisible por $17$.

Calcule la integral definida:
$$\int_{-2}^2 ((((x^2-2)^2-2)^2-2)^2-2) \, dx$$

Evaluate
$$ \int \sin^2(2\theta) \cos^2(2\theta) \, d\theta. $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(2 + 3x^2)^{3/2}} $$

Determine el valor del siguiente límite que involucra una función integral:
$$ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \left( \epsilon^{4} \int_{0}^{\pi/2 - \epsilon} \tan^{5}(x) \, dx \right) $$

Factorizar la siguiente expresión:
$$ a^4 + a^2 + \sqrt{2}a + 2 $$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 - \cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x}{\text{sen}^2 x} \right]$$

Probar la identidad si $a \ge 2$:
$$ \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} $$

Paso 1:
Demostrar que si: $a(b-c)x^2 + b(c-a)xy + c(a-b)y^2 = 0$ es un trinomio cuadrado perfecto, las cantidades $a, b, c$ están en progresión armónica.