Aprende con Inteligencia

Simplifique la siguiente expresión algebraica y determine su valor numérico para $u = 20$ y $v = 16$:

$$E = \frac{ [ (u+v)^{-1/2} + (u-v)^{-1/2} ]^{-1} + [ (u+v)^{-1/2} - (u-v)^{-1/2} ]^{-1} }{ [ (u+v)^{-1/2} + (u-v)^{-1/2} ]^{-1} - [ (u+v)^{-1/2} - (u-v)^{-1/2} ]^{-1} }$$

Evaluar:
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}\right) dx $$

Calcule:
$$\int \frac{\log(x/\pi)}{(\log x)^{\log(\pi e)}} dx$$

Paso 1:
En una carrera de caballos se debe correr $3900$ m; el caballo A avanza $100$ m en el primer minuto, $200$ m en el segundo minuto, $400$ m en el tercero, etc. El caballo B avanza $400$ m en el primer minuto, $500$ m en el segundo, $600$ m en el tercero, etc. ¿Quién gana la carrera? ¿En cuánto tiempo llega a la meta? Considere: $\log 2 = 0,3$

Resolver la ecuación:
$$1 - \frac{2(\text{sen} 2x - \cos 2x \tan x)}{\sqrt{3} \sec^2 x} = \cos^4 x - \text{sen}^4 x$$

Si la función está definida como $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{1-x} + \arcsin(2\sqrt{x(1-x)})$, donde $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$, entonces el valor de $f'(x)$ es:

a. $\frac{2}{\sqrt{x(1-x)}}$      b. zero      c. $-\frac{2}{\sqrt{x(1-x)}}$      d. $\pi$

Para la función:
$$f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[5]{x})\dots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$$
En el punto $x_0=1$, hallar el valor de $f(x)$ para que tenga una discontinuidad evitable en $x_0=1$. $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$.

Si $A + B + C = \pi$, demostrar que:
$$ \sin^2 \left(\frac{A}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{B}{2}\right) - \sin^2 \left(\frac{C}{2}\right) = 1 - 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) $$

4. Resolver y dar el valor de "$xyz$":
$$\frac{\sqrt[n]{a-x^n} + \sqrt[n]{b-y^n}}{x+y} = \frac{\sqrt[n]{c-z^n} + \sqrt[n]{b-y^n}}{y+z} = \frac{\sqrt[n]{a-x^n} + \sqrt[n]{c-z^n}}{x+z} = 1$$

a) $\sqrt[n]{\frac{abc}{4}}$      b) $\sqrt[n]{\frac{abc}{8}}$      c) $\sqrt[n]{\frac{abc}{2}}$      d) $\sqrt[n]{abc}$      e) $\sqrt[n]{\frac{abc}{16}}$

Resolver la ecuación:
$$ \left( \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x} \right) (1 + \tan^2 2y) (3 + \sin 3z) = 4 $$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Si $a_1, a_2, \dots, a_n$ son números no negativos y $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1$, demuestre que:
$$ (1+a_1)(1+a_2) \dots (1+a_n) \geq 2^n $$