Aprende con Inteligencia

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(\sqrt{4x^2+1})}{x(e^{2x}-1)} & ; \quad x < 0 \\ 2ax + b & ; \quad 0 \leq x \leq 3 \\ \frac{81(\sqrt[3]{2x^2+9} - \sqrt{6x-2} + 1)}{x^2-9} & ; \quad x > 3 \end{cases}$$

Paso 1:
Hallar tres números en progresión aritmética que aumentados en 3, 3 y 7 respectivamente formen una progresión geométrica de suma 28.

Demostrar la identidad:
$$\log_a n \log_b n + \log_b n \log_c n + \log_c n \log_a n = \frac{\log_a n \log_b n \log_c n}{\log_{abc} n}$$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
$$ \begin{cases} x + y = \dfrac{\pi}{6} \\ 5 (\sin 2x + \sin 2y) = 2 (1 + \cos^2 (x - y)) \end{cases} $$

Paso 1:
Agua, a una tasa de $10 \text{ ft}^3/\text{min}$, está entrando en una cisterna con fugas cuya forma es un cono de $16 \text{ ft}$ de profundidad y $8 \text{ ft}$ de diámetro en la parte superior. En el momento en que el agua tiene $12 \text{ ft}$ de profundidad, se observa que el nivel del agua sube a $4 \text{ in/min}$. ¿A qué velocidad se está fugando el agua?

Paso 1:
Una pieza de joyería fabricada con una aleación de oro y plata pesa $450\text{ g}$ en el aire. Al sumergirla completamente en agua, se observa una pérdida aparente de peso de $30\text{ g}$ debido al empuje. Se sabe que, bajo las mismas condiciones, el oro puro pierde el $5\%$ de su peso en el agua, mientras que la plata pura pierde el $10\%$. Determine la masa de oro y de plata que componen la joya.

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \cot x + \cot y = a \\ x + y = b \end{cases} $$

Demuestre que:
$$ \tan^2 \left(\frac{\pi}{16}\right) + \tan^2 \left(\frac{2\pi}{16}\right) + \dots + \tan^2 \left(\frac{7\pi}{16}\right) = 35 $$

Demuestre la siguiente igualdad:
$$ a^2 \frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)} + b^2 \frac{(d-c)(d-a)}{(b-c)(b-a)} + c^2 \frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)} = d^2 $$

Paso 1:
Si: $\operatorname{sen}(nx) = n \operatorname{sen} x$, calcular: $G = 1 + \frac{\sqrt{1 + \operatorname{sen}^4(nx) - 2\operatorname{sen}^2(nx)}}{\operatorname{sen}^2(nx)} - \frac{\cos^2 x}{n^2 \operatorname{sen}^2 x}$

Calcular el valor de la siguiente integral definida en el intervalo $[0, 2\pi]$:
$$ \int_{0}^{2\pi} \max(\sin(x), \sin(2x)) \, dx $$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{x - x^2}}$$