Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $a^3 = \csc \theta - \sin \theta$ y $b^3 = \sec \theta - \cos \theta$, demuestre que $a^2b^2(a^2 + b^2) = 1$.

Si $\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta + \sin^{2} \gamma - 2 = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$, demuestre que se cumple una de las siguientes condiciones:
$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = \pi (2k+1) \\ \alpha - \beta + \gamma = \pi (2l+1) \\ \alpha + \beta - \gamma = \pi (2m+1) \\ \alpha - \beta - \gamma = \pi (2n+1) \end{cases} $$

Calcular la siguiente integral definida:
$$ I = \int_{-2}^{1} \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1} + x^2 + 1} dx $$

Si $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$, demostrar que:
$$ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) \geq 6abc$$

Resolver la ecuación:
$$ \sin^5 x - \cos^5 x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{(x - 1)^3 (x + 2)^5}} $$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^4} \right) e^{x + 1/x} \, dx $$

Resolver:
$$ \arcsin \frac{2}{3\sqrt{x}} - \arcsin \sqrt{1-x} = \arcsin \frac{1}{3} $$

Assertion (A): $\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{7}\right) = -\frac{1}{2}$.

Reason (R): $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ es una raíz compleja séptima de la unidad.

(a) A (b) B (c) C (d) D

Simplificar:
$$\frac{a}{a^2-1} + \frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1} + \frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$$

Demuestre la siguiente identidad mediante el cálculo de la integral impropia:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{x \cosh(2x)} dx = \log 2$$

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.