Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$, halle el valor de $\cos^{12} \theta + 3 \cos^{10} \theta + 3 \cos^8 \theta + \cos^6 \theta$.

Sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n > 2$) los vértices de un polígono regular de $n$ lados con su centro en el origen. Sea $\vec{a}_k$ el vector de posición del punto $A_k$ para $k = 1, 2, \dots, n$. Si se cumple que:
$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n-1} (\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}) \right| $$
entonces el valor mínimo de $n$ es:

Resolver la ecuación:
$$ \sin 2x + \cos 2x = \sin x + \cos x $$

Integre la función:
$$\int (1 + \log x) \log(\log x) dx$$

Calcular la integral definida:
$$ \int_{0}^{1000} (\lfloor \lceil x \rceil \rfloor + \lceil \lfloor x \rfloor \rceil + \lfloor \{ x \} \rfloor + \{ \lfloor x \rfloor \} + \lceil \{ x \} \rceil + \{ \lceil x \rceil \}) \, dx $$

donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es el piso, $\lceil \cdot \rceil$ es el techo y $\{ \cdot \}$ es la parte fraccionaria.

Si $A $ y $ B $ son ángulos suplementarios, reducir:
$F = \frac{\text{sen}(2A + B) \tan(3B + 2A)}{\cot \left( \frac{A}{2} + \frac{3B}{2} \right) \cos \left( \frac{B}{2} + \frac{3A}{2} \right)}$

Encuentre un número de dos cifras que cumpla las siguientes condiciones:
1. El cociente obtenido al dividir el número por la suma de sus dígitos es igual a $4$.
2. La diferencia entre el número original y el número que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a $18$.

Resolver la siguiente integral:
$$ \int \sin^2(2x) e^{2x} \, dx $$

Paso 1:
Discutir y bosquejar la gráfica de: $y = x^2 \ln x$.

Hallar $y'$ en forma simplificada de:
$$y = -\ln\left( \frac{x^4+2x^2+1}{x^4-x^2+1} \right) + \sqrt{12} \text{arctag}\left( \frac{\sqrt{3}}{1-2x^2} \right)$$

Resolver la ecuación:
$$ 3 \sin 2x + \cos 2x = 2 $$

Demostrar que:
$$ \arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2} $$