Aprende con Inteligencia

Evalúe:
$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^4 - 13x^2 + 36}$$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$

Hallar $(f^{-1} \circ g^{-1} \circ g^{-1})(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^4 - 17x^2 + 16} & ; \quad x \in ]-\infty, -4] \cup ]-1, 1] \\ x \cdot \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-16}} & ; \quad x > 4 \end{cases}$$
$$g(x) = \sqrt{\frac{x^2-16}{x^2-1}} \quad ; \quad x \in [0, 1] \cup [4, +\infty[$$

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)|}{\sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)} \, dx $$

Resuelve la ecuación:
$$ | x^2 - 9 | + | x - 2 | = 5 $$

Si $f(x)$ y $g(x)$, son dos funciones tales que: $f(x)g(x) = 2$. Si $f'(x), f''(x), g'(x), g''(x)$ existen para todo $x \in \mathbb{R}$. Demostrar que:
$$\frac{f''(x)}{f(x)} + f'(x)g'(x) + \frac{g''(x)}{g(x)} = 0$$

Hallar el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \right]$$

Paso 1:
Tengo cuatro hijos. La edad en años de cada hijo es un entero positivo entre 2 y 16 inclusive y las cuatro edades son distintas. Hace un año, el cuadrado de la edad del hijo mayor era igual a la suma de los cuadrados de las edades de los otros tres. Dentro de un año, la suma de los cuadrados de las edades del mayor y el menor será igual a la suma de los cuadrados de los otros dos hijos. Decide si esta información es suficiente para determinar sus edades de forma única y encuentra todas las posibilidades para sus edades.

Paso 1:
Dos equipos empezaron a trabajar a las 8 a.m. Habiendo fabricado 72 piezas juntos, continuaron trabajando por separado. A las 3 p.m. resultó que mientras los equipos trabajaban por separado, el primer equipo fabricó 8 piezas más que el segundo. Al día siguiente, el primer equipo fabricó una pieza más por hora, y el segundo equipo una pieza menos por hora que el primer día. Empezaron a trabajar juntos a las 8 a.m. y después de que 72 piezas estuvieron listas, continuaron trabajando por separado como el día anterior. Esta vez, el primer equipo fabricó 8 piezas más que el segundo a la 1 p.m. ¿Cuántas piezas fabricó cada equipo por hora el primer día?

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{(x - 1)^3(x + 2)^5}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \sin 3x} dx $$

Examine cada uno de los siguientes movimientos en línea recta:
(a) $s = t^3 - 9t^2 + 24t$;
(b) $s = t^3 - 3t^2 + 3t + 3$;
(c) $s = 2t^3 - 12t^2 + 18t - 5$;
(d) $s = 3t^4 - 28t^3 + 90t^2 - 108t$.
Determine en qué instantes se detiene la partícula y si existe cambio de dirección.