Aprende con Inteligencia

Demostrar y calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x) \sin(2x) \sin(3x)}{x^3} dx $$

Si las ecuaciones $a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1 = 0$ y $a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2 = 0$ tienen un par de raíces repetidas en común, demuestre que:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 3a_1 & 2b_1 & c_1 \\ 3a_2 & 2b_2 & c_2 \\ a_2b_1 - a_1b_2 & c_1a_2 - c_2a_1 & d_1a_2 - d_2a_1 \end{array} \right| = 0 $$

En los problemas 33 a 36, encontrar $dy/dx$.
36. $x = a \text{ sech}^{-1} \left( \frac{y}{a} \right) - \sqrt{a^2 - y^2}$

Paso 1:
Demostrar la identidad: $\sin(a-b) + \sin(a-c) + \sin(b-c) = 4 \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-c}{2}\right) \cos\left(\frac{b-c}{2}\right)$

Resolver la ecuación:
$$ \frac{\operatorname{sen}(60^\circ + x) + \operatorname{sen}(60^\circ - x)}{2} = \frac{\tan x}{(1 + \tan^2 x)^2} + \frac{\cot x}{(1 + \cot^2 x)^2} $$

Sea $f(x) = x - x^3$, $x \in [-2, 2]$.

• [a)] Halle las constantes $m$ y $b$ de modo que la recta $y = mx + b$ sea tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1, 0)$.
• [b)] Si una segunda recta que pasa por $(-1, 0)$ es también tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, c)$, determine las coordenadas de $a$ y $c$.

Demuestre que:
$$ \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) + \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{12}}\right) + \dots \text{ al } \infty = \frac{\pi}{2} $$

Calcule el valor de la siguiente integral definida que involucra la función parte entera $\lfloor \cdot \rfloor$:
$$ \int_{0}^{1/4} \left( \left\lfloor \sqrt[4]{\frac{1}{x}} - 4 \right\rfloor^2 + \left\lfloor \sqrt[4]{\frac{1}{x}} - 4 \right\rfloor \right) dx $$

Calcular la expresión:
$$ (4\sqrt{3} + 8) \left[ \sqrt{3}(\sqrt{3}-2) + \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} + \dots \right] $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^2} dx $$

Simplificar y demostrar:
$$ \frac{2 \sin \alpha - \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha - 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = - \frac{2 \cos 2\alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}} $$

Paso 1:
La derivada de $\sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right)$ con respecto a $\sqrt{1 - x^2}$ en $x = \frac{1}{2}$ es: