Aprende con Inteligencia

Demostrar que:
$$ \sin^4 x + \sin^4 \left( x + \frac{2\pi}{n} \right) + \sin^4 \left( x + \frac{4\pi}{n} \right) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \frac{3n}{8} $$
(Nota: El enunciado original indicaba $3\pi/8$, pero por consistencia dimensional en series de $n$ términos, el resultado correcto es proporcional a $n$).

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin^{8} x \, dx$

Si $0 < x < 1$, demuestra que:
$$ \frac{1-2x}{1-x+x^2} + \frac{2x-4x^3}{1-x^2+x^4} + \frac{4x^3-8x^7}{1-x^4+x^8} + \cdots \infty = \frac{1+2x}{1+x+x^2} $$

Calcular el valor exacto de la integral que involucra la función parte entera $\lfloor x \rfloor$:
$$ \int_{0}^{5} (-1)^{\lfloor x \rfloor + \lfloor x/\sqrt{2} \rfloor + \lfloor x/\sqrt{3} \rfloor} dx $$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sin x \cot y = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ \tan x \cos y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x - \sqrt{x^2 + 9})^{10}} $$

Paso 1:
Si $9g^2 \left[ \ln \left( \frac{e^x - 2}{2e^x - 1} \right) \right] \cdot g(x) = (f \circ f^{-1}) \left( \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \right)$. Hallar el valor de "m", sabiendo que: $(m+1)g(1) = e-1$.

Demostrar la identidad e indicar el dominio:
$$ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{2}+\sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2-a} $$

Use la regla de la cadena para hallar $dy/dx$:
$y = \sqrt{u}$, $u = v(3 - 2v)$, $v = x^2$

Si $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$; $(g \circ h)(x) = \frac{x+4}{x}$; $g(x) = \frac{x}{x-1}$. Hallar la expresión reducida de:
$$(f \circ g^{-1} \circ h^{-1})(\text{sen} 3x)$$

Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
$$2x^3 - x^2 + 3x + m \quad \text{y} \quad x^3 + x^2 + n \quad \text{es} \quad x^2 - x + 2$$
hallar el valor de $m + n$.

Resuelve el sistema:
$$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 + z^2 = 9 + yz \quad \text{--- (1)} \\ x^2 + 2y^2 + z^2 = 6 + zx \quad \text{--- (2)} \\ x^2 + y^2 + 2z^2 = 3 + xy \quad \text{--- (3)} \end{cases} $$