Aprende con Inteligencia

Hallar el valor de "m" de tal manera que la expresión:
$$M = \left[ \frac{\sqrt{a \sqrt{a^2 \sqrt{a^3}}}}{a^3(a^2)[(a^{1/2})^{1/3}]^{1/2}} \right]^{-m}$$
sea de grado 120.

a) 10      b) 20      c) 30      d) 40      e) 120

Demostrar que, si $n > 2$:
$$ \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{n}\right) + \cos^2\left(\frac{5\pi}{n}\right) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \frac{n}{2} $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida que involucra una torre exponencial infinita:
$$ \int_{1/4}^{\sqrt{2}} \frac{dx}{x(x^{x^{x^{\dots}}} \log(x) - 1)} $$

Simplificar la expresión fraccionaria:
$$ \frac{a^3b - ab^3 + b^3c - bc^3 + c^3a - ca^3}{a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2} $$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\sin(x) + \cos(x)}{\sqrt{25 \sin^2(x) + 16 \cos^2(x)}} dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \tan 3x \cdot \tan 2x \cdot \tan x dx$

Paso 1:
Dos cuadrillas de trabajadores cavaron juntas una zanja en dos días. Luego empezaron a cavar otra zanja de la misma profundidad y anchura, pero cinco veces más larga que la primera. La primera cuadrilla empezó a cavar la zanja sola y luego fue relevada por la segunda. La primera cuadrilla cavó 1.5 veces más que la segunda. La segunda zanja se cavó en 21 días. ¿Cuántos días le hubiera tomado a la segunda cuadrilla cavar la primera zanja si la primera cuadrilla puede cavar más rápido que la segunda?

Paso 1:
Establecer la fórmula 10 del Capítulo 10 para $m = p/q$, donde $p$ y $q$ son números enteros, escribiendo $y = x^{p/q}$ como $y^q = x^p$ y diferenciando con respecto a $x$.

Demostrar y calcular el valor de la integral impropia:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{x \log(x)}{x^4 + 1} \, dx $$

Paso 1:
Dos ciclistas deben recorrer una ruta recta de $120\text{ km}$. El primer ciclista mantiene una velocidad constante que es $10\text{ km/h}$ superior a la del segundo ciclista. Debido a esto, el primer ciclista completa el recorrido exactamente $1\text{ hora}$ antes que el segundo. Calcule la velocidad de cada uno.

Demostrar y calcular el valor de la integral:
$$ \int_{0}^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} dx $$

Demostrar que:
$$ \sin^3 \alpha + \sin^3 \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \sin^3 \left( \frac{4\pi}{3} + \alpha \right) = -\frac{3}{4} \sin 3\alpha $$