Aprende con Inteligencia

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ \sin^4 x - 2 \cos^2 x + a^2 = 0 $$

Paso 1:
Sea $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1$ para todo $x, y$ reales y sea $f(x)$ una función diferenciable. Si $f'(0) = \cos \alpha$, demuestre que $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Demostrar: $E = (1 - \tan^2 x)(1 - \tan^2 2x)(1 - \tan^2 4x)\dots(1 - \tan^2 32x)$
Resp. $E = 64 \tan x \cot 64x$

El valor entero positivo de $n > 3$ que satisface la ecuación
$\frac{1}{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right)} = \frac{1}{\sin \left( \frac{2\pi}{n} \right)} + \frac{1}{\sin \left( \frac{3\pi}{n} \right)}$ es .........

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \csc^{3} x \, dx$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 4) \sqrt{x + 1}} $$

Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $]-\frac{5}{2}, \infty[$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(\pi x)}{x+2} & ; \quad -\frac{5}{2} < x < -2 \\ ax+b & ; \quad -2 \le x \le 0 \\ \frac{2\text{sen } x + 3\text{sen}^2 x}{x + 2x^4} & ; \quad x > 0 \end{cases}$$

En una P.G. de 6 términos, la suma de los términos extremos es $\sqrt{1445}$ y el producto de los términos centrales es 289, halle la razón de dicha progresión.
$$ \text{Resp. } q = \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^{\frac{2}{5}} $$

Evalúe el valor de la expresión $R$ dadas las condiciones para $u$ y $v$:
$$R = \frac{uv - \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}{uv + \sqrt{u^2-1}\sqrt{v^2-1}}$$
Sabiendo que:
$$u = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right), \quad v = \frac{1}{2}\left( b + \frac{1}{b} \right)$$
Donde $a \geq 1$ y $b \geq 1$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = z^2 & (1) \\ xy + yz + zx = 47 & (2) \\ (z - x) (z - y) = 2 & (3) \end{cases} $$

Paso 1:
Dos lados de un triángulo miden $15$ y $20\text{ ft}$ de largo, respectivamente. (a) ¿Con qué rapidez aumenta el tercer lado si el ángulo entre los lados dados es de $60^\circ$ y aumenta a razón de $2^\circ/\text{sec}$? (b) ¿Con qué rapidez aumenta el área?

Paso 1:
Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma, encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.