Aprende con Inteligencia

Si $a \ge 0$ y $b \ge 0$, demostrar que:
$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^8 \ge 16ab(a + b)^2 $$

Hallar la expresión abreviada de $y''$ si se conoce:
$$\ln\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2}\right) + \arctan\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = 8$$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sin x + \frac{1}{\cos y} = 2 \\ \frac{\sin x}{\cos y} = 0.5 \end{cases} $$

Si $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$, demostrar que:
$$ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) \geq 6abc$$

Paso 1:
Un camión cisterna se llenó de petróleo a través de dos tuberías, cada una de las cuales llenó más de $1/4$ de su volumen. Si la cantidad de petróleo suministrada por hora a través de la primera tubería se aumentara en $1.5$ veces, y la cantidad de petróleo suministrada por hora a través de la segunda tubería fuera $1/4$ de su capacidad real, entonces el tiempo requerido para llenar el tanque habría sido $1/6$ del tiempo necesario para llenar el tanque solo a través de la primera tubería. ¿Qué tubería suministra más petróleo y cuántas veces más?

Verificar la identidad:
$$ \tan 55^\circ \tan 65^\circ \tan 75^\circ = \tan 85^\circ $$

Calcular la siguiente integral indefinida y verificar la igualdad:
$$ \int \log(x) \left( \left( \frac{x}{e} \right)^x + \left( \frac{e}{x} \right)^x \right) dx = \left( \frac{x}{e} \right)^x - \left( \frac{e}{x} \right)^x $$

Resolver la ecuación:
$$\cos x + \sin x = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}$$

Calcular el valor de la integral:
$$\int_{0}^{1} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lfloor 2^n x \rfloor}{3^n} \right)^2 dx$$

Demuestre que:
$$ \sin^3 \theta + \sin^3 3\theta + \sin^3 5\theta + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \frac{1}{4} \left[ \frac{3\sin^2 n\theta}{\sin \theta} - \frac{\sin^2 3n\theta}{\sin 3\theta} \right] $$

Paso 1:
El radio de un círculo debe ser medido y su área computada. Si el radio puede ser medido con un error de hasta $0.001$ in y el área debe tener una precisión de $0.1 \text{ in}^2$, encuentre el radio máximo para el cual este proceso puede ser usado.

Paso 1:
Evaluar: $\int \tan^{-1} \left( \frac{\sin x}{1 - \cos x} \right) dx$