Aprende con Inteligencia

Demostrar que para todo $a \in \mathbb{R}$:
$$1 + 2a^4 \geq a^2 + 2a^3$$

Paso 1:
Un barco está siendo cargado por grúas. Cuatro grúas similares trabajaron durante las primeras dos horas, luego otras dos grúas más pequeñas se unieron a ellas, y en tres horas terminó la carga. Si las seis grúas hubieran comenzado a operar simultáneamente, la carga se habría completado en 4.5 horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a una de las grúas más potentes y a una de las menos potentes trabajando juntas cargar el barco?

Calcular el valor de la siguiente integral definida en el intervalo $[0, 2\pi]$:
$$ \int_{0}^{2\pi} \max(\sin(x), \sin(2x)) \, dx $$

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)|}{\sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)} \, dx $$

Simplificar la expresión:
$$ \frac{\sin (60^\circ + \alpha)}{4 \sin \left( 15^\circ + \frac{\alpha}{4} \right) \sin \left( 75^\circ - \frac{\alpha}{4} \right)} $$

Paso 1:
Evaluar: \int \frac{dx}{x^{11} \sqrt{1 + x^4}}

Evaluar la integral impropia:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(x^3 - 4x) \sin x + (3x^2 - 4) \cos x}{(x^3 - 4x)^2 + \cos^2 x} dx $$

Demostrar que para $a, b > 0$:
$$\sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt[3]{a^3 + b^3}$$

Resuelve la siguiente ecuación:
$$ x^4 - 8x + 63 = 0 $$

Simplifique la expresión:
$$ 2a (1+x^2)^{\frac{1}{2}} (x + (1+x^2)^{\frac{1}{2}})^{-1} $$
Para el valor de:
$$ x=\frac{1}{2} \left( (ab^{-1})^{\frac{1}{2}} - (ba^{-1})^{\frac{1}{2}} \right) $$

Paso 1:
El petróleo se bombea a un tanque a través de tres tuberías y se extrae mediante una cuarta tubería. El primer día, la tercera y cuarta tubería operaron durante seis horas cada una, la segunda tubería durante cinco horas y la primera tubería durante dos horas. Como resultado, el nivel de petróleo subió $4$ m. El segundo día, la primera y segunda tubería operaron durante tres horas cada una, la tercera durante nueve horas y la cuarta durante cuatro horas. Como resultado, el nivel subió otros $6$ m. El tercer día, la segunda y cuarta tubería operaron durante seis horas cada una. ¿Subió o bajó el nivel del petróleo el tercer día?

Paso 1:
Un ciclista parte a las 12:00, recorriendo en la primera hora 8km, en la segunda 16km; en la tercera hora 32km, y así sucesivamente. Después de cierto tiempo de marcha descansa 3 horas y parte de nuevo recorriendo en la primera hora 120km, en la segunda 60km, y así continuando en progresión geométrica decreciente, hasta andar una hora menos que las andadas antes del descanso. El recorrido total fue 473km. ¿A qué hora se paró a descansar el ciclista?