Aprende con Inteligencia

Se tienen dos progresiones una aritmética y otra geométrica. Sabiendo que la suma de los dos primeros términos de la P.G. es el doble del segundo termino de la P.A.; que la suma del primer y tercer términos de la P.G. es el triple del tercer termino de la P.A.; y que la razón aritmética excede en uno a la razón geométrica; y que el primer termino de la P.G. también excede en uno al primer termino de la P.A. Halle las dos progresiones, sabiendo que las razones son números enteros.
Resp. P.A.: 2, 6, 10; P.G.: 3, 9, 27

Resuelva la ecuación:
$$\frac{(3 + x)(2 + x)(1 + x)}{(3 - x)(2 - x)(1 - x)} = -35$$

Si $x > -1, n \geqslant 2$, entonces demuestre que:
$$(1+x)^n > 1 + nx$$

Paso 1:
Probar el teorema complementario para una función decreciente: Si $f'(x_0) < 0$, entonces $f(x)$ es decreciente en $x_0$.

Evalúe la siguiente integral impropia:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \left( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x-6} \right)^{-2} + 1 \right)^{-1} dx $$

Hallar la integral indefinida:
$$ \int \frac{x^2}{\sqrt{4e^{2x} + (x^2 + 2x + 2)^2}} \, dx $$

Evaluar la integral:
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - \log_2(1 - x)} \, dx$$

Paso 1:
Discutir y bosquejar la gráfica de: $y = x^2 \ln x$.

Resolver la ecuación:
$$ \frac{a + \sin x}{a \cos x + 1} = \frac{a + \cos x}{a \sin x + 1} $$

Demostrar la identidad:
$$ \sqrt{\cot \alpha + \cos \alpha} + \sqrt{\cot \alpha - \cos \alpha} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \sqrt{\cot \alpha} $$
Si $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Paso 1:
La suma de dos números de tres dígitos es igual a 1252. Ambos números están formados por los mismos dígitos pero en orden inverso. Encuentre estos números si la suma de los dígitos de cada número es 14 y la suma de sus cuadrados es 84.

7. Suponga que la función $f(x)$ satisface la relación $f(x + y^3) = f(x) + f(y^3)$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$ y es derivable para todo $x$.
Afirmación 1: Si $f'(2) = a$, entonces $f'(-2) = a$.
Afirmación 2: $f(x)$ es una función impar.