Aprende con Inteligencia

Resolver la ecuación:
$$ \sin 2x + \cos 2x = \sin x + \cos x $$

Paso 1:
Un camión cisterna se llenó de petróleo a través de dos tuberías, cada una de las cuales llenó más de $1/4$ de su volumen. Si la cantidad de petróleo suministrada por hora a través de la primera tubería se aumentara en $1.5$ veces, y la cantidad de petróleo suministrada por hora a través de la segunda tubería fuera $1/4$ de su capacidad real, entonces el tiempo requerido para llenar el tanque habría sido $1/6$ del tiempo necesario para llenar el tanque solo a través de la primera tubería. ¿Qué tubería suministra más petróleo y cuántas veces más?

Paso 1:
Demostrar que si: $a(b-c)x^2 + b(c-a)xy + c(a-b)y^2 = 0$ es un trinomio cuadrado perfecto, las cantidades $a, b, c$ están en progresión armónica.

Hallar el valor de la integral:
$$ \int_{\sqrt{e}}^{\infty} x^{-\log x} \, dx = \frac{\sqrt[4]{e} \pi^2}{2} $$

Si: $$ \begin{cases} \text{sen } x + \text{sen } y = a \\ \cos x - \cos y = b \end{cases} $$
calcular: $C = \frac{1 + a \text{sen}(x-y) - \cos(x-y)}{a + \text{sen}(x-y) + a \cos(x-y)}$

Evaluar la integral:
$$\int \left( \frac{\cos x + \sin x}{x^2} + \frac{\sin x - \cos x}{x} \right) dx$$

Relacione los valores extremos de las funciones dadas:

\begin{array}{ll}
Column I & Column II \\
\text{(A) El valor mínimo de } 2 \sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta \text{ es} & \text{(P) } 1 \\
\text{(B) El valor máximo de } \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \text{ es} & \text{(Q) } 3/4 \\
\text{(C) El valor mínimo de } \sin^4 \theta + \cos^2 \theta \text{ es} & \text{(R) } 2 \\
\text{(D) El valor máximo de } \sin^{2014} \theta + \cos^{2010} \theta \text{ es} & \text{(S) } 4
\end{array}

Paso 1:
Dos móviles que se desplazan por una pista circular en el mismo sentido coinciden cada $60\text{ min}$. Si se movieran con las mismas velocidades pero en sentidos opuestos, coincidirían cada $12\text{ min}$. Se sabe además que, cuando se mueven en sentidos opuestos, la distancia entre ellos (medida sobre el arco de la pista) se reduce en $30\text{ m}$ cada $10\text{ s}$. Calcule la longitud de la circunferencia y la velocidad de cada móvil en $\text{m/min}$.

Calcular la integral definida de la función compuesta por una serie infinita de exponenciales:
$$ \int_{1/2}^{1} 4^{x-1} \left( 1 + 4^{4^{x-1}-1} \left( 1 + 4^{4^{4^{x-1}-1}-1} (1 + \dots) \right) \right) dx $$

Paso 1:
Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma, encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.

Halle las soluciones generales del sistema:
$$ \begin{cases} \tan x + \cot y = \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \tan x \cot y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Calcular el valor del siguiente límite que involucra una integral definida:
$$ \lim_{n \to \infty} \log_{n} \left( \int_{0}^{1} (1 - x^{3})^{n} \, dx \right) $$