Aprende con Inteligencia

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} x^2y = x + y - z \quad \text{--- (1)} \\ z^2x = x - y + z \quad \text{--- (2)} \\ y^2z = y - x + z \quad \text{--- (3)} \end{cases} $$

Paso 1:
Si la expresión $\tan(55^\circ) \tan(65^\circ) \tan(75^\circ)$ se simplifica a $\cot(x^\circ)$ y $m$ es el valor numérico de $\tan(27^\circ) + \tan(18^\circ) + \tan(27^\circ) \tan(18^\circ)$, encuentre el valor de $(m + x + 1)$.

Paso 1:
En una progresión geométrica con un número par de términos, se cumple que la suma de todos sus términos es exactamente el cuádruple de la suma de los términos que ocupan las posiciones impares. Calcule el valor de la razón de esta progresión.

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Sea $f(x) = x - x^3$, $x \in [-2, 2]$.

• [a)] Halle las constantes $m$ y $b$ de modo que la recta $y = mx + b$ sea tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(-1, 0)$.
• [b)] Si una segunda recta que pasa por $(-1, 0)$ es también tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, c)$, determine las coordenadas de $a$ y $c$.

Si $A + B + C = \pi$, demostrar que:
$$ \sin^2 \left(\frac{A}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{B}{2}\right) - \sin^2 \left(\frac{C}{2}\right) = 1 - 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) $$

Resolver la ecuación:
$$ 1 + \sin^2 ax = \cos x $$

Paso 1:
Si: $a^2, b^2, c^2$ están en progresión aritmética, demostrar que: $b+c, c+a, a+b$ están en progresión armónica.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x - 1}} $$

Resolver la siguiente ecuación:
$$ \tan \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \tan x \tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{4 \cos^2 x}{\tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}} $$

Resolver la integral:
$$ \int \frac{\cos(x) - \sin(x)}{2 + \sin(2x)} \, dx $$

Evaluar los siguientes límites:
a) $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\pi - 1 - 2\arccos(x) + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right]$
b) $L = \lim_{x \to \infty} [(x+2) \cdot \ln(x+2) - 2(x+1) \cdot \ln(x+1) + x \cdot \ln(x)]$