Aprende con Inteligencia

Evaluar:
$$ \int \frac{(2x + 3)}{(3x + 4) \sqrt{x^2 + 2x + 4}} dx $$

Si $f$, $g$, y $h$ son funciones derivables de $x$ y se define:
$$\Delta(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ (xf)' & (xg)' & (xh)' \\ (x^2 f)' & (x^2 g)' & (x^2 h)' \end{vmatrix}$$
entonces demuestre que:
$$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ (x^3 f'')' & (x^3 g'')' & (x^3 h'')' \end{vmatrix}$$

Paso 1:
Si $m = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)$, determine el valor de $(2m + 2 - \sqrt{7})$.

Calcular el valor de la integral definida:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}+1} \sin(x - \sin(x - \sin(x - \cdots))) dx $$

Resuelva la integral definida:
$$\int_{0}^{\pi/2} x \cot x \, dx$$

Demuestre que:
$$ \begin{aligned} & \sin x \sin y \sin(x - y) + \sin y \sin z \sin(y - z) \\ & + \sin z \sin x \sin(z - x) + \sin(x - y) \sin(y - z) \sin(z - x) = 0 \end{aligned} $$

Paso 1:
Resolver la integral: $\int x^{-2} \sqrt[3]{1+x^3} \, dx$

Demuestre que si $a + b + c = 0$, entonces:
$$ a^5(b^2 + c^2) + b^5(a^2 + c^2) + c^5(b^2 + a^2) = \frac{(a^3 + b^3 + c^3)(a^4 + b^4 + c^4)}{2} $$

Paso 1:
Encuentre, con cuatro decimales: (a) la raíz real de $x^3 + 3x + 1 = 0$; (b) la raíz más pequeña de $e^{-x} = \sin x$; (c) la raíz de $x^2 + \ln x = 2$; (d) la raíz de $x - \cos x = 0$.

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Una sucesión $(s_n)$, donde $s_n > 0$ para todo $n$, diverge a $+\infty$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} (1/s_n) = 0$.

Si $a + b \ge 0$, demostrar que:
$$ \frac{a^3 + b^3}{2} \ge \left( \frac{a + b}{2} \right)^3 $$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$