Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $\sin 5\theta = A \sin \theta + B \sin^3 \theta + C \sin^5 \theta$, hallar el valor de $A + B + C + 10$.

Calcular el valor de la siguiente integral definida que involucra las funciones parte entera (piso) $\lfloor x \rfloor$ y la función techo $\lceil x \rceil$:
$$ \int_{1}^{2025} \left( \left\lceil \frac{2025}{\lfloor x \rfloor} \right\rceil - \left\lfloor \frac{2025}{\lceil x \rceil} \right\rfloor \right) dx $$

Dada una permutación $\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$ del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, encuentre el máximo valor de:
$$\int_{\int_{x_1}^{x_2} x_3 dx}^{\int_{x_4}^{x_5} x_6 dx} x_7 dx$$

Paso 1:
Demostrar la identidad: $\frac{\operatorname{sen} x - \cos x + 1}{\operatorname{sen} x + \cos x - 1} = \frac{1}{\sec x - \tan x}$

Paso 1:
Calcule $\tan \frac{\alpha}{2}$ si $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{2}$ y $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$.

Si la raíz $\alpha$ ocurre $p$ veces y la raíz $\beta$ ocurre $q$ veces en la ecuación polinómica $f(x) = 0$ de grado $n$ ($1 < p, q < n$), ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera [donde $f^{(r)}(x)$ representa la $r$-ésima derivada de $f(x)$ con respecto a $x$]?

$$ \begin{array}{l} \text{a) Si } p < q < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(p-1)}(x) = 0. \\ \text{b) Si } q < p < n, \text{ entonces } \alpha \text{ y } \beta \text{ son dos de las raíces de la ecuación } f^{(q-1)}(x) = 0. \\ \text{c) Si } p < q < n, \text{ entonces las ecuaciones } f(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente una raíz común.} \\ \text{d) Si } q < p < n, \text{ entonces las ecuaciones } f^{(q)}(x) = 0 \text{ y } f^{(p)}(x) = 0 \text{ tienen exactamente dos raíces comunes.} \end{array} $$

Para la función:
$$f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[5]{x})\dots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$$
En el punto $x_0=1$, hallar el valor de $f(x)$ para que tenga una discontinuidad evitable en $x_0=1$. $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \frac{x^5 + y^5}{x^3 + y^3} = \frac{31}{7} \\ x^2 + xy + y^2 = 3 \end{cases} $$

En los problemas 53 y 54, hallar la $n$-ésima derivada de la función dada:
$$ f(x) = \frac{1}{3x + 2} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x^2(1 + x^4)^{3/4}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^{3} dx}{(2x + 3)^{2}}$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 6x + 9)\sqrt{4x^2 - 24x + 20}} $$