Aprende con Inteligencia

Si $2 \tan \alpha = 3 \tan \beta$, demostrar que:
$$ \tan (\alpha - \beta) = \frac{\sin 2\beta}{5 - \cos 2\beta} $$

Si $A + B + C = \pi$, demostrar que:
$$ \sin^2 \left(\frac{A}{2}\right) + \sin^2 \left(\frac{B}{2}\right) - \sin^2 \left(\frac{C}{2}\right) = 1 - 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) $$

Calcular el valor de la siguiente integral definida que involucra una serie infinita de potencias:
$$ \int_{0}^{1} \left( 9x^9 - x^{90} + 9x^{99} - x^{900} + 9x^{909} - x^{990} + 9x^{999} - x^{9000} + \dots \right) dx = 1 $$
Demuestre si la igualdad es correcta evaluando el límite de la serie.

Paso 1:
Dos equipos de estibadores deben descargar una barcaza. La suma de los tiempos que tardaría cada equipo trabajando individualmente para descargar la barcaza es de $12$ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada equipo descargar la barcaza si la diferencia entre estos tiempos es el $45\%$ del tiempo que les tomaría a ambos equipos trabajando juntos para descargar la barcaza?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 + x - 2y = -2 & \text{(1)} \\ 3xy - 5y^2 + 3x - 6y = -5 & \text{(2)} \end{cases} $$

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones que tienen derivadas de tercer orden finitas y no nulas $f'''(x)$ y $g'''(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Si $f(x)g(x) = 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$, demuestre que:
$$ \frac{f'''}{f'} - \frac{g'''}{g'} = 3\left(\frac{f''}{f} - \frac{g''}{g}\right) $$

Calcule por la regla de L'Hopital el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Paso 1:
Encontrar los valores "a", "b", "c" y "d" de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ de manera que tenga un punto de inflexión en $(1, -1)$, un extremo relativo en el punto $(0, 3)$. Luego analizar la función (crecimiento, concavidad) y dibujar la gráfica.

Calcule la integral de la función "parte entera" o "máximo entero" ($\lfloor \cdot \rfloor$):
$$\int_0^1 \left\lfloor \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \right\rfloor \, dx$$

Calcular la integral definida:
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$$

Paso 1:
Evaluar: \int x^{-6}(1 + 2x^3)^{2/3} dx

Paso 1:
Tres hermanos se reparten un dinero en proporción a sus edades. Los números que expresan sus edades forman una progresión geométrica. Si se repartieran este dinero en proporción a sus edades dentro de tres años, entonces el más joven recibiría 105 rublos más y el hermano mediano 15 rublos más que ahora. ¿Qué edad tiene cada hermano si se sabe que la diferencia de edad entre el mayor y el menor es igual a 15 años?