Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Calcular el volumen que se genera al hacer rotar alrededor del eje "y" la región $f(x) = e^{-4x}$ para $x \geq 0$, $y=0$.

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2\cdot\sqrt{x+9} + 9 \cdot \sqrt[3]{27-x} - 33}{x\left( \sqrt[8]{1+7x} \cdot \sqrt[12]{1+5x} - 1 \right)} \right]$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x} dx $$

Calcular el valor de:
$$\int_0^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} \, dx$$

Si $f(x-y)$, $f(x)f(y)$, y $f(x+y)$ están en Progresión Aritmética (P.A.) para todo $x, y$, y $f(0) \neq 0$, entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f(4) = f(-4) & \text{b. } f(2) + f(-2) = 0 \\ \text{c. } f'(4) + f'(-4) = 0 & \text{d. } f'(2) = f'(-2) \end{array} $$

Determine el valor de la siguiente integral definida:
$$I = \int_{0}^{\pi} \sin^2(3x + \cos^4(5x)) \, dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^4(2x + 1)^3} $$

Paso 1:
Dos equipos de albañiles, trabajando conjuntamente, revocaron una casa en seis días. Luego revocaron un club, haciendo tres veces más trabajo que cuando revocaron la casa. Un equipo comenzó a revocar el club y luego fue relevado por el segundo equipo, que completó el trabajo, habiendo hecho el primer equipo el doble de trabajo que el segundo. Les tomó a ambos equipos 35 días revocar el club. ¿Cuántos días le habría tomado al primer equipo revocar la casa si el segundo equipo hubiera podido hacerlo en más de 14 días?

Demostrar la identidad e indicar el dominio:
$$ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{2}+\sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2-a} $$

Hallar la derivada de la función implícita:
$$ x \cos y = \sin(x + y) $$

Paso 1:
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente es igual a $4$, y la suma de sus términos elevados al cubo es igual a $192$. Hallar el primer término y la razón común de la progresión.

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^{4}}{(3x - 2)^{3}} dx$