Aprende con Inteligencia

Demostrar que el valor de la siguiente integral definida es cero:
$$ \int_{0}^{1} \sin((x - 1)(5x - 1)) \sin(x(3x - 2)) \, dx $$

Calcule el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot(a+2x) - 2\cot(a+x) + \cot(a)}{x^2} \right]$$

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ \sin^4 x - 2 \cos^2 x + a^2 = 0 $$

Si $x = A \sin kt + B \cos kt$ donde $A, B$ y $k$ son constantes, demostrar que:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -k^2x \quad \text{y} \quad \frac{d^{2n}x}{dt^{2n}} = (-1)^n k^{2n} x $$

Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y \end{cases} $$

Derivar la siguiente expresión:
$$ y = x \ln(4 + x^2) + 4 \arctan\left(\frac{1}{2}x\right) - 2x $$

Examine cada una de las siguientes funciones para determinar sus valores máximos y mínimos relativos, utilizando el criterio de la primera derivada:

1. [(a)] $f(x) = x^2 + 2x - 3$
2. [(b)] $f(x) = 3 + 2x - x^2$
3. [(c)] $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

Paso 1:
Dados $S = \pi x(x + 2y)$ y $V = \pi x^2y$, demuestre que $dS/dx = 2\pi(x - y)$ cuando $V$ es constante y $dV/dx = -\pi x(x - y)$ cuando $S$ es constante.

(8) Sea $k$ un número entero positivo, y sean $p(x), q(x)$ polinomios en $x$ de grado $k$. También sea:
$$ \begin{aligned} p(x) &= ax^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \\ q(x) &= bx^k + (\text{un polinomio de grado } < k), \end{aligned} $$
donde $a$ y $b$ son números distintos de cero. Entonces: (a) Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{q(n)} = \frac{a}{b} $$
mostrando que dado $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n > n_0$:
$$ \left| \frac{a}{b} - \frac{p(n)}{q(n)} \right| < \epsilon. $$
(b) Demuestre la ecuación anterior invocando el Teorema 2.10 (Leyes de los límites).

Si $A $ y $ B $ son ángulos suplementarios, reducir:
$F = \frac{\text{sen}(2A + B) \tan(3B + 2A)}{\cot \left( \frac{A}{2} + \frac{3B}{2} \right) \cos \left( \frac{B}{2} + \frac{3A}{2} \right)}$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 3x + 2}} $$

Integre la función:
$$\int (1 + \log x) \log(\log x) dx$$