Aprende con Inteligencia

Calcular la integral definida:
$$\int_0^4 \binom{x}{5} dx$$

Si: $S_1$ y $S_2$ son dos sumas finitas definidas por:
$$ \begin{cases} S_1 = 10 + 12 + 14 + 16 + \dots + (2n + 8) \\ S_2 = 1 + 4 + 7 + 10 + \dots + (3n - 2) \end{cases} $$
Además $S_1$ y $S_2$ tienen el mismo valor e igual número de términos. Halle el número de términos.

Determine la expresión equivalente para la segunda derivada de $x$ con respecto a $y$, es decir, $\frac{d^2x}{dy^2}$.

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^{-1} & \text{(b) } \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \\ \text{(c) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} & \text{(d) } -\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \end{array} $$

Si $f(x)$ es una función derivable y estrictamente creciente, entonces el valor de:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2) - f(x)}{f(x) - f(0)} $$
es:
$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } 1 & \text{(b) } 0 & \text{(c) } -1 & \text{(d) } 2 \end{array} $$

Si $\frac{\sin^4 x}{2} + \frac{\cos^4 x}{3} = \frac{1}{5}$, entonces:
(a) $\tan^2 x = \frac{2}{3}$
(b) $\frac{\sin^8 x}{8} + \frac{\cos^8 x}{27} = \frac{1}{125}$
(c) $\frac{\sin^8 x}{8} + \frac{\cos^8 x}{27} = \frac{2}{125}$
(d) $\tan^2 x = \frac{1}{3}$

Demuestre que:
$$ (\cos \alpha + \sin \beta)^2 + (\sin \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2} \right) $$

Paso 1:
En una progresión aritmética que consta de $16$ términos, se sabe que la suma de todos los términos situados en posiciones impares ($a_1, a_3, \dots, a_{15}$) es igual a $176$, mientras que la suma de los términos en posiciones pares ($a_2, a_4, \dots, a_{16}$) es igual a $200$. Calcule el valor del primer término y la diferencia común de la progresión.

Resolver la ecuación:
$$ \cos 2x - 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\cot 2x - \cot x) \sin (x - \pi)} $$

Calcule el valor de $abcd$ si se sabe que uno de los factores del polinomio $P_{(x)} = (x + 1)^5 - 3(x + 1)^3 + 4x + 6$ es de la forma $f_{(x)} = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

A) -1      B) 1      C) 2      D) -2      E) 3

26. ¿Cuál es el valor de "a" para que la expresión:
$$10x^2 + (a + 3)xy - (a - 7)y^2 - x + (a - 3)y - 2$$
pueda descomponerse en dos factores?

a) 2      b) 10      c) 4      d) 8      e) 6

Evaluar:
$$ \int \left( \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx $$

Calcule:
$$\int_{1}^{e} x(\log x)^2 \, dx$$