Aprende con Inteligencia

La expresión
$$ 3 \left[ \sin^4 \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \sin^4(3\pi + \alpha) \right] - 2 \left[ \sin^6 \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + \sin^6(5\pi - \alpha) \right] $$
es igual a:

(a) 0      (b) 1      (c) 3      (d) $\sin 4\alpha + \cos \alpha$

Paso 1:
Demostrar que: $1 - \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(2\beta)$

Si $\int \frac{dx}{x^{2}(x^{4} + 1)^{3/4}} = A\left(1 + \frac{1}{x^{4}}\right)^{B} + c$, entonces determine los valores de $A$ y $B$ para identificar la opción correcta:

(a) $A = -1$ \\
(b) $B = 1/4$ \\
(c) $A = 1/2$ \\
(d) $B = 1/2$

Resolver:
$$ \frac{(a+b+c+x)(a+b+c+1)-x}{(a+x+c+b)(a+b+x-d)-cd} = \frac{a+b+c+x-1}{x+a+b+c-d} $$

a) $1$      b) $a$      c) $b$      d) $c$      e) $a+b+c$

24 obreros pueden fabricar 100 carpetas en "$t$" días, 5 días después de haber iniciado el trabajo, 6 de ellos se enferman y reducen su eficiencia a la mitad y de ese modo el trabajo se entrega con 6 días de retraso. Halle $t$.

a) 41      b) 43      c) 45 \\
d) 47      e) 42

Cuando marchaba a lo largo de una línea de tren observé que cada 11 minutos me alcanzaba uno de esos vehículos, y cada 4 minutos otro de ellos pasaba en dirección contraria. Tanto los vehículos como yo nos desplazábamos con velocidad constante. ¿Cada cuántos minutos salían los trenes de las estaciones terminales?

a) 4 min      b) 12 min      c) 8 min      d) 6 min      e) 10 min

Resuelva:
$$\int e^x [\log(1+x^2) - 2(1+x)\arctan x] \, dx$$

Si se cumplen las igualdades $x^{x^9} = \sqrt{3}^{\sqrt{3}}$ y $y = x^{\left(\frac{1}{y^{y^x}}\right)}$, calcular: $y^{3x}$

$$ \begin{array}{lll} \text{A) } 3 & \text{B) } 2 & \text{C) } \sqrt{2} \\ \text{D) } \sqrt{3} & \text{E) } 27 & \end{array} $$

Demostrar la identidad:
$$ \sec \theta + \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) $$

Reducir la siguiente expresión
$$M = \frac{4(5)^{n-1} + 4(5)^{n-2} + 4(5)^{n-3} + \dots + 4(5)^2 + 4(5) + 5}{6(5)^{n-2} - 6(5)^{n-3} + 6(5)^{n-4} - \dots - 6(5)^2 + 6(5) - 5}$$
si se sabe que $n$ es impar.

A) 5      B) 6      C) 10      D) 9      E) 25

20. Hallar el resto de dividir el polinomio:
$$P(x) = \frac{(x - n)(x - p)}{(m - n)(m - p)}a + \frac{(x - m)(x - p)}{(n - m)(n - p)}b + \frac{(x - m)(x - n)}{(p - m)(p - n)}c$$
entre el divisor $(x - m)(x - n)(x - p)$

a) $x^2 + x + 1$      b) $x$      c) $x^2 + 1$      d) $x - 1$      e) $x^2 - 1$

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 80^\circ - \tan 60^\circ = 8 \sin 40^\circ $$