Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Si $\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha$, demuestre que $\cos 2\beta = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)$.

Calcule el valor de la integral:
$$\int_{1/2022}^{2022} \frac{1+x^{2020}}{x^2 + x^{2022}} dx$$

Sabiendo que:
$$ x_1 = \frac{1}{2}; \quad x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}; \quad \dots; \quad x_n = (1/2)^{(1/2)^{\dots^{(1/2)}}} \text{ (TEMP_INLINE_MATH_1_END veces)} $$
Calcular el valor aproximado de $x_n$ cuando $n$ crece indefinidamente.

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } \frac{5}{2} & \text{B) } \frac{2}{3} & \text{C) } \frac{4}{3} & \text{D) } \frac{7}{3} & \text{E) } \frac{5}{3} \end{array} $$

Calcular:
$$\int (1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^2-x^3+x^4) dx$$

Paso 1:
31. $y = \ln(\ln \tan x)$

Si $f(x) = \sqrt{1 - \sin 2x}$, entonces $f'(x)$ es igual a:

a. $-(\cos x + \sin x)$, para $x \in (\pi/4, \pi/2)$ \\
b. $\cos x + \sin x$, para $x \in (0, \pi/4)$ \\
c. $-(\cos x + \sin x)$, para $x \in (0, \pi/4)$ \\
d. $\cos x - \sin x$, para $x \in (\pi/4, \pi/2)$

El valor máximo de $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \dots \cos \alpha_n$ bajo la restricción $0 \leq \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \leq \frac{\pi}{2}$ y $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \dots \cot \alpha_n = 1$ es:
(a) $\frac{1}{2^{n/2}}$
(b) $\frac{1}{2^n}$
(c) $\frac{1}{2n}$
(d) $1$

Hallar una raíz, al resolver:
$$ \frac{(x - a)^4 + (x - b)^4}{(x - a)^2 + (x - b)^2} = \frac{41}{20} (a - b)^2 $$

a) $\frac{a - b}{2}$      b) $\frac{3b + a}{2}$      c) $\frac{3a - b}{2}$      d) $\frac{3a + b}{2}$      e) $\frac{a - 3b}{2}$

Si el quinto término del CN generado por
$\left[ \frac{(x+2)^n - x^n}{2x+2} \right]$ toma VN de 1024 cuando $x=2$, calcule el valor de $\sqrt[3]{n^2}$.

A) 32      B) 16      C) 8      D) 4      E) 2

Evaluar la integral definida:
$$\int_0^{256} (x - \lfloor x \rfloor)^2 \, dx$$

Calcular la integral:
$$\int \cos(x)^6 dx$$

Si al reducir:
$$ \left[ \dots \left[ \left[ (x^a)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{3}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{3}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{3}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} \dots \text{ (TEMP_INLINE_MATH_1_END corchetes)} $$
para $x > 0 \land x \neq 1$. El exponente final de $x$ es $0,5$; siendo $a = 2^{16} - 3$; hallar $n$.

\begin{array}{lll}
\text{A) } 12 & \text{B) } 14 & \text{C) } 16 \\
\text{D) } 9 & \text{E) } 1
\end{array}