Aprende con Inteligencia

Analizar completamente si existe $\lim_{x \to -1} f(x)$ donde:
$$f(x) = \begin{cases} |x| - \lfloor x \rfloor & ; \quad -3 \leq x < -1 \\ -4x + \text{sgn}\left(\frac{x-1}{x+2}\right) & ; \quad -1 \leq x < 1 \end{cases}$$

Resolver la ecuación:
$$1 + x^4 = 7(1 + x)^4$$

a) $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$      b) $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$      c) $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ \\
d) $\frac{5 + \sqrt{11}i}{2}$      e) $\frac{5 - \sqrt{11}i}{2}$

Simplificar la expresión:
$$ \arctan \left( -\tan \frac{2\pi}{3} \right) $$

Si $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es igual a:

$$ \begin{array}{llll} \text{a) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} & \text{b) } \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2x} & \text{c) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 - 4} & \text{d) } \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 + 4} \end{array} $$

Paso 1:
Calcular el valor de: $\sqrt{3} \cot 20^\circ - 4 \cos 20^\circ$

$\sec^2 \theta = \left( \frac{4xy}{(x + y)^2} \right)$ es verdadero si y solo si:

(a) $x + y = 0$      (b) $x = y, x \neq 0$      (c) $x = y$      (d) $x \neq 0, y \neq 0$

Calcule el valor de $m \in \mathbb{Q}_0^+$ que hace que el polinomio $f_{(x)} = x^4 + mx^3 + 3x^2 + mx + 1$ sea un cuadrado perfecto.

A) 2      B) -2      C) 0      D) 1/2      E) 4

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{1} x^2 (1 - x)^{2024} dx $$

Paso 1:
El dinero que gasto comprando leche para mi hijo aumenta cada mes en progresión geométrica. Cada mes compro una lata de leche. Empecé a comprarlas cuando mi hijo cumplió $6$ meses, ahora tiene $11$ meses y hasta el momento he gastado solo comprando leche $1330 \text{ Bs.}$ La primera lata me costó $1/25$ de mi sueldo; y luego de haber comprado las dos primeras latas había gastado ya un $10\%$ de mi sueldo de un mes. ¿Cuánto gano mensualmente?

1. (20\%) a) Deducir la relación de la derivada por definición, mediante la interpretación geométrica e indicar el concepto de la derivada.

b) Aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a la función $y = x^2 - 5x - 5$, en el intervalo: $]-1, 2[$.

Paso 1:
Tres trabajadores tienen que fabricar 80 piezas idénticas. Juntos fabrican 20 piezas por hora. Inicialmente, el primer trabajador comenzó a trabajar solo y fabricó 20 piezas en más de tres horas. Las piezas restantes fueron fabricadas por el segundo y tercer trabajador. Les tomó 8 horas completar este trabajo juntos. ¿Cuánto tiempo le habría tomado al primer trabajador fabricar las 80 piezas solo?

Reducir:
$$ E = \left[ \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}} + \left(\frac{1}{125}\right)^{-3^{-1}} + \left(\frac{1}{81}\right)^{-16^{-\frac{1}{2}}} \right]^{-\frac{1}{2}} $$

$$ \begin{array}{lll} \text{A) } 1 & \text{B) } 2 & \text{C) } 4 \\ \text{D) } 1/2 & \text{E) } 1/4 & \end{array} $$