Aprende con Inteligencia

Resolver las siguientes expresiones utilizando la regla de la cadena para logaritmos:
$$ \begin{array}{l} \text{(a) } \log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 4 + 1 \\ \text{(b) } \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \end{array} $$

Assertion (A): $\tan \alpha + 2 \tan(2\alpha) + 4 \tan(4\alpha) + 8 \tan(8\alpha) + 16 \cot(16\alpha) = \cot \alpha$.

Reason (R): $\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot 2\alpha$.

(a) A (b) B (c) C (d) D

Si $a > 0$ y $b > 0$, demuestre que:
$$ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} $$

Resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt[3]{a^2 + x^2} + \sqrt[3]{a^2 - x^2}}{\sqrt[3]{a^2 + x^2} - \sqrt[3]{a^2 - x^2}} = \frac{a^2}{b^2}$$

a) $\sqrt{\frac{3a^4 + b^4}{a^4 + 3b^4}}$      b) $\sqrt{\frac{3a^4 - b^4}{a^4 - 3b^4}}$      c) $a \sqrt{\frac{3a^4 - b^4}{a^4 - 3b^4}}$      d) $b \sqrt{\frac{3a^4 + b^4}{a^4 + 3b^4}}$      e) $b \sqrt{\frac{a^4 + 3b^4}{3a^4 + b^4}}$

El valor de $\cos\left(\frac{\pi}{14}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{14}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{14}\right)$ es:

(a) $1/4$      (b) $1/8$      (c) $\frac{\sqrt{7}}{4}$      (d) $\frac{\sqrt{7}}{8}$

Demostrar que:
$$ 3(\sin x - \cos x)^4 + 6(\sin x + \cos x)^2 + 4(\sin^6 x + \cos^6 x) = 13 $$

Calcular el valor exacto de la siguiente expresión trigonométrica:
$$ \cos \left( 2 \arctan \frac{1}{4} + \arccos \frac{3}{5} \right) $$

Paso 1:
Resolver: $3 (1 - \sin x) = 1 + \cos 2x$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} 9x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Paso 1:
$\log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2$

Demuestre que: $\sin \theta \cos^3 \theta - \sin^3 \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \sin 4\theta$
(Nota: El enunciado original dice $\sin 3\theta$, pero analíticamente corresponde a $\sin 4\theta$ por identidades de ángulo doble).

PROBLEMA Nro. 1 (20 PUNTOS)

• [a)] Aplicando la definición, encontrar la primera derivada de la función respecto de la variable $x$ en el punto $x = 2\pi$; si $f(x) = \tan x$.
• [b)] Enunciar el Teorema del Valor Medio y dar una explicación geométrica.
• [c)] Encontrar una ecuación de la recta tangente y otra ecuación de la recta normal a la curva $y = x^3$ en el punto $(a, -a)$.
• [d)] ¿Qué condición necesaria debe cumplir una función para tener un punto de inflexión en $x = a$? ¿Qué relación existe entre el sentido de concavidad de una curva y su punto de inflexión?