Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Demostrar que $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 1 = (-1)^n 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ si $\alpha + \beta + \gamma = \pi n$.

Determine uno de los factores primos del siguiente polinomio definido en $\mathbb{R}[x]$:
$$R(x) = x^4 + 4mnx^2 - (m^2 - n^2)^2$$

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ 12 \sin x + 4 \sqrt{3} \cos (\pi + x) = a \sqrt{3} $$

Para un entero positivo $n$, sea:
$$ f_n(\theta) = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)(1 + \sec \theta)(1 + \sec 2\theta)(1 + \sec 4\theta)\dots(1 + \sec 2^n \theta) $$
Entonces:

(a) $f_2\left(\frac{\pi}{16}\right) = 1$      (b) $f_3\left(\frac{\pi}{32}\right) = 1$      (c) $f_4\left(\frac{\pi}{64}\right) = 1$      (d) $f_5\left(\frac{\pi}{128}\right) = 1$

Paso 1:
La suma de 3 números en P.G. es 70, si se multiplican los dos extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están en P.A. Hallar las progresiones.

Paso 1:
Resolver la ecuación $\arctan x + \arctan \frac{1}{y} = \arctan 3$ en números enteros.

Resuelva la siguiente ecuación:
$$\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} - \frac{13}{1-2x}$$

Paso 1:
Al mezclar una solución de ácido al $40\%$ con una solución de ácido al $10\%$, se obtuvieron $800$ g de una solución al $21.25\%$. ¿Cuántos gramos de cada solución se mezclaron?

Resuelva la ecuación logarítmica:
$$\log (x - 2) + \log (x - 3) = 1 - \log 5$$

Racionalice el denominador de la siguiente fracción:
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{7}} $$

Simplificar la fracción:
$$ \left\{ m + \frac{1}{n + \frac{1}{m + \dots}} \right\} + \left\{ n + \frac{1}{m + \frac{1}{n + \dots}} \right\} $$

Tres números positivos $a, b, c$ (en ese orden) están en progresión geométrica creciente y cumplen:
$$a + b + c = 7$$
Si al primero y al tercero se los multiplica por $4$ y al segundo por $5$, los números obtenidos forman una progresión aritmética. Hallar $a, b, c$ y la progresión aritmética resultante.