Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Enunciar y probar el teorema complementario para un mínimo relativo: Si $y = f(x)$ es derivable en $a \leq x \leq b$ y $f(x)$ tiene un mínimo relativo en $x = x_0$, donde $a < x_0 < b$, entonces $f'(x_0) = 0$.

Si $\int \left( \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} \right) dx = k \cos 4x + c$, hallar el valor de $k$:

(a) $k = -\frac{1}{2}$
(b) $k = -\frac{1}{8}$
(c) $k = -\frac{1}{4}$
(d) $k = \frac{1}{6}$

Evaluar:
$$ \int 3^{3^x} \cdot 3^x dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x^2 - 4) \sqrt{x + 1}} $$

Paso 1:
Se tiene una tela de $5\text{ m}$ de largo y $75\text{ pulgadas}$ de ancho. Se requiere doblar una de las esquinas de tal forma que esta coincida con el lado opuesto. Encontrar el ángulo bajo el cual se dobla una de las esquinas si el área formada por el trazo de tela doblada es la mínima.

Calcular la integral:
$$\int \cos(x)^6 dx$$

Paso 1:
Investigue la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de área total máxima en un cono circular recto de radio $r$ y altura $h$.

Hallar la integral:
$$ \int \frac{\csc^2 x - 2005}{\cos^{2005} x} dx $$

(a) $\frac{\cot x}{\cos^{2005} x} + c$      (b) $\frac{\tan x}{\cos^{2005} x} + c$ \\
(c) $\frac{-\tan x}{\cos^{2005} x} + c$      (d) $\frac{-\cot x}{\cos^{2005} x} + c$

i) Anote un ejemplo de $f(x)$ par y otro $g(x)$ impar, luego halle $(f \circ g)(x)$ y analice si es par o impar. \\
ii) Para la función: $f(x) = \ln(3x-2) - \ln(x+3)$ identifique el dominio y rango. \\
iii) Construya la gráfica de la función: $f(x) = \frac{3x}{2-x}$. \\
iv) Analice si existe o no el límite: $L = \lim_{x \to \frac{1}{4}} \lfloor 4x - 1 \rfloor$. Justifique su respuesta.

Sea $g(x)$ la inversa de una función invertible $f(x)$, la cual es diferenciable para todo $x$ real. Entonces $g''(f(x))$ es igual a:

1. $-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$
2. $\frac{f'(x)f''(x) - (f'(x))^3}{f'(x)}$
3. $\frac{f'(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f'(x))^2}$
4. ninguna de estas

Evaluar:
$$\int_{50}^{100} \lfloor \log_2 x \rfloor \, dx$$

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int (3^{\log_3 x} - 2^{\log_2 x}) dx$