Aprende con Inteligencia

Después de graficar $(f \circ g)(x)$ hallar su función inversa, donde:
$$f(x) = \sqrt{x} \quad ; \quad g(x) = x - \lfloor x \rfloor$$
En el intervalo $0 \leq x \leq 5$.

Calcule la integral:
$$\int \frac{1}{1 + \cos^2 x} dx$$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\cos x - \sin x) + c$
(b) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$
(c) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$
(d) $-\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$

Determine la integral indefinida:
$$\int \frac{x+1}{x(x+\log x)} \, dx$$

Calcule la integral:
$$\int_{0}^{1} \frac{-x + \sqrt{4-3x^2}}{2} dx$$

Si $y = ae^{mx} + be^{-mx}$, entonces $\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y$ es igual a:

a. $m^2(ae^{mx} - be^{-mx})$
b. $1$
c. $0$
d. Ninguna de las anteriores

Calcular:
$$ \int \sqrt{1 + 2\cot x(\cot x + \csc x)} \, dx $$

(a) $2\ln(\cos(x/2)) + c$ \\
(b) $2\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(c) $\frac{1}{2}\ln(\sin(x/2)) + c$ \\
(d) None.

Calcule la integral indefinida:
$$\int \sin(4 \arctan(x)) \, dx$$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{2^{\log(x)}}{x^2} \, dx $$

Paso 1:
Demostrar: Si $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene dos puntos críticos, estos son bisecados por el punto de inflexión. Si la curva tiene solo un punto crítico, este es el punto de inflexión.

Calcular:
$$\int (x + \sin(x) + x\cos(x) + \sin(x)\cos(x)) dx$$

Calcular el valor de la expresión compuesta por integrales iteradas con límites variables:

$$ \int_{\int_{1}^{\int_{0}^{1} x \, dx} x \, dx}^{\int_{0}^{\int_{0}^{1} x \, dx} x \, dx} x \, dx = -\frac{189}{2048} $$

Demuestre que el resultado de la operación es el valor indicado.