Aprende con Inteligencia

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{2x + 1}{(x^2 + 4x + 1)^{3/2}} \right) dx $$

(a) $\left( \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(b) $\left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(c) $\left( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$
(d) $\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c$

Paso 1:
26. $y = \ln \sqrt{3 - x^2}$

(7) a) Demuestre que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n!} = 0$, donde $n!$ es el factorial de $n$, el cual se define como el producto $n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. (Sugerencia: Considere usar el principio del sándwich).
b) Si en (a), $n^2$ es reemplazado por $n^k$ para un número entero fijo $k$, ¿sigue cumpliéndose (a)?

Halle el límite:
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_{-1/2}^{1/2} (1-3x^2+x^4)^n dx$$

Hallar la derivada de la función:
$$ f(t) = \frac{2}{\sqrt{t}} + \frac{6}{\sqrt[3]{t}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \cos^{10} x \, dx$

Evalúe la integral:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\sin x}}{\tan x \csc x} \, dx$$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = 3 \sin 2x $$

Calcule la derivada de la siguiente función:
$$ y = \sqrt{1 + \sqrt{x}} $$

Suponga que $f(x) = e^{ax} + e^{bx}$, donde $a \neq b$, y que $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ para todo $x$. Entonces el producto $ab$ es:

a. 25 \\
b. 9 \\
c. -15 \\
d. -9

Halle el valor reducido de $y'$ para:
$$y = \ln\left[ \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + x^2 + 1} \right] + 2\sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x^2 + 1}{\sqrt{3}} \right)$$

Paso 1:
Sea $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \cdots (x - n)$, con $n \in \mathbb{N}$, y se sabe que $f'(n) = 5040$. Calcule el valor de $n$.