Aprende con Inteligencia

Determine la integral indefinida:
$$\int (\sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x) dx$$

Paso 1:
Hallar el radio $R$ del cono circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio $r$.

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$

Paso 1:
Una escalera de $20\text{ pies}$ de largo está apoyada contra una casa. Encuentre las razones a las cuales (a) la parte superior de la escalera se mueve hacia abajo si su pie está a $12\text{ pies}$ de la casa y se aleja a razón de $2\text{ pies/seg}$ y (b) la pendiente de la escalera está disminuyendo.

Calcular la integral indefinida simplificando la fracción continua de 2023 niveles:
$$ \int \underbrace{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\ddots \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}}}_{2023 \text{ términos } (1-)} dx $$

Paso 1:
Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función que satisface la condición $f(x + y^3) = f(x) + [f(y)]^3$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Si $f'(0) \geq 0$, halle $f(10)$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2(1 + x^2)^3} $$

Evaluar la integral impropia (si existe):
$$ \int_{2}^{\infty} \frac{9}{(1 - 3z)^4} dz $$

Calcular la integral:
$\int x^{2} \cos x dx$

(a) $x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + c$
(b) $x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2\sin x + c$
(c) $x^{2} \sin x + 2x \cos x + \sin x + c$
(d) $x^{2} \sin x + 2\cos x + \sin x + c$

Paso 1:
Si la gráfica de $y = f(x)$ es simétrica respecto al punto $(5, 0)$ y $f'(7) = 3$, entonces el valor de $f'(3)$ es:

Calcule el valor de:
$$\int_{0}^{3} \left( \min\left(2x, \frac{5-x}{2}\right) - \max\left(-\frac{x}{2}, 2x-5\right) \right) \, dx$$

Calcular la derivada: $\dfrac{d}{dx} \left[ \tan^{-1} \left( \dfrac{\sqrt{x}(3-x)}{1-3x} \right) \right] =$

1. [a.] $\dfrac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}$
2. [b.] $\dfrac{3}{(1+x)\sqrt{x}}$
3. [c.] $\dfrac{2}{(1+x)\sqrt{x}}$
4. [d.] $\dfrac{3}{2(1+x)\sqrt{x}}$