Aprende con Inteligencia

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[5]{(x + 1)^4 (x + 3)^7}} $$

Calcular la integral:
$$ \int \left\{ \frac{(\log x - 1)}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx $$
Nota: En este contexto, $\log x$ se refiere usualmente al logaritmo natural ($\ln x$). Al observar las opciones, corregimos el planteamiento para que coincida con la forma estándar: $\int \frac{\log x - 1}{(1 + (\log x)^2)} dx$ es poco común, la forma corregida por derivación es la opción (b).

(a) $\frac{xe^x}{1 + x^2} + c$      (b) $\frac{x e^x}{1 + (\log x)^2} + c$ \\
(c) $\frac{\log x}{1 + (\log x)^2} + c$      (d) $\frac{x}{1 + x^2} + c$

Paso 1:
Examine la ecuación $2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1 = 0$ para encontrar sus puntos máximos y mínimos.

Si $y = ae^{mx} + be^{-mx}$, entonces $\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y$ es igual a:

a. $m^2(ae^{mx} - be^{-mx})$
b. $1$
c. $0$
d. Ninguna de las anteriores

Si $f(a) = 2$, $f'(a) = 1$, $g(a) = -1$, $g'(a) = 2$, entonces el valor de $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) - g(a)f(x)}{x - a}$ es:

$$ \begin{array}{llll} \text{(a) } -5 & \text{(b) } \frac{1}{5} & \text{(c) } 5 & \text{(d) } \text{ninguna de las anteriores} \end{array} $$

Si se tiene la función:
$$ y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \log_e \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}} $$
Demuestre que se cumple la siguiente identidad diferencial:
$$ 2y = xy' + \log_e y' $$

Si $x^2 + y^2 = 1$, determine cuál de las siguientes relaciones diferenciales es correcta:

$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } yy'' - 2(y')^2 + 1 = 0 & \text{(b) } yy'' + (y')^2 + 1 = 0 \\ \text{(c) } yy'' + (y')^{-2} - 1 = 0 & \text{(d) } yy'' + 2(y')^2 + 1 = 0 \end{array} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^9}{(2x^2 + 3)^5} dx$

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales:
$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x+2} & ; \quad x < -2 \\ Ax+B & ; \quad -2 \le x < 2 \\ 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x+2}} & ; \quad x > 2 \end{cases}$$

Calcule:
$$\int_0^{2\pi} (1-\cos(x))^5 \cos(5x) dx$$

Hallar el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \right]$$

Paso 1:
Evaluar: \int x^{-6}(1 + 2x^3)^{2/3} dx