Aprende con Inteligencia

Sea $f(x)$ una expresión cuadrática que es positiva para todos los valores reales de $x$. Si $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$, entonces para cualquier $x$ real:

$$ \begin{array}{llll} \text{a. } g(x) < 0 & \text{b. } g(x) > 0 & \text{c. } g(x) = 0 & \text{d. } g(x) \geq 0 \end{array} $$

Hallar las asíntotas de la función:
$$y = \frac{x^2 - x^3 + 1}{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 4}$$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \tan^4 x \cdot \sec^2 x \, dx $$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\cos x - \sin x) + c$
(b) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$
(c) $\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$
(d) $-\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + c$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}}$

Calcule el valor de la siguiente integral definida:
$$\int_{0}^{100} \lfloor \sqrt{x} \rfloor dx$$

Evaluar:
$$ \int \frac{2 \sin x + 3}{(3 \sin x + 2)^2} dx $$
*Nota: Este tipo de integrales se resuelven típicamente mediante manipulación algebraica en el numerador para separar la fracción.*

Calcular la integral indefinida:
$$\int e^x \left( \frac{1}{x} + \log x \right) dx$$

Paso 1:
Dada la función $y = \frac{5x}{\sqrt[3]{(1 - x)^2}} + \cos^2(2x + 1)$, encontrar $\frac{dy}{dx}$.

Calcule la integral definida:
$$\int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{\arcsin(x)}{x^3} dx$$

Determine el valor de:
$$\int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x} \sin x dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b}} $$