Aprende con Inteligencia

Calcule el límite:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \int_0^n \cos^2 \left( \frac{\pi x^2}{\sqrt{2}} \right) dx \right)$$

Paso 1:
Se extrae agua de un depósito cónico de $3\text{ ft}$ de radio y $10\text{ ft}$ de profundidad a razón de $4\text{ ft}^3/\text{min}$. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de $6\text{ ft}$? ¿Con qué rapidez disminuye el radio de la superficie en ese momento?

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(1 - 2\sin x)^2} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \sin^{-1}(\sin x) dx$

Encuentre $\frac{ds}{dx}$ para la ecuación:
$$ 27ay^2 = 4(x - a)^3 $$

Paso 1:
Sea $F(x) = f(x)g(x)h(x)$ para todo $x$ real, donde $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ son funciones derivables. En algún punto $x_0$, se cumple que $F'(x_0) = 21 F(x_0)$, $f'(x_0) = 4 f(x_0)$, $g'(x_0) = -7 g(x_0)$, y $h'(x_0) = k h(x_0)$. Determine el valor de $k$.

Si $x = \log p$ y $y = \frac{1}{p}$, entonces:

a. $\frac{d^2y}{dx^2} - 2p = 0$      b. $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$      c. $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0$      d. $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

Calcule el límite $L = \lim_{x \to -2} f(x)$, si:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\lfloor x-1 \rfloor - x}{\sqrt{x - \lfloor x \rfloor}} & ; \quad -9 \leq x < -2 \\ \frac{\lfloor 3x \rfloor - 3\lfloor x \rfloor - 8\lfloor x/3 \rfloor}{x - |x|} & ; \quad -2 \leq x < 7 \end{cases}$$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{3x^9 - 2}} $$

Paso 1:
Hallar una expresión para la derivada $n$-sima de la función: $f(x) = 3x e^{-2x}$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{x^2 + 5x + 6}{(x + 2)\sqrt{x^2 + 5x + 4}} \, dx $$

El valor de la integral $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$, donde $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, es:

(a) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(b) $\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(c) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} - \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$
(d) $-\sqrt{2} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}{\sqrt{2}} \right) + c$