Aprende con Inteligencia

Calcule la integral:
$$\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$$

Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, demuestre que:
(a) $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2$
(b) $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3$

Sea $f: R^+ \rightarrow R$ una función continua que satisface
$f\left(\frac{x}{y}\right) = f(x) - f(y) \quad \forall x, y \in R^+$. Si $f'(1) = 1$, entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f \text{ no está acotada} & \text{b. } \lim_{x \to 0} f\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \\ \text{c. } \lim_{x \to 0} \frac{f(1+x)}{x} = 1 & \text{d. } \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) = 0 \end{array} $$

Dada la función $f(x) = |x^2 - 3|x| + 2|$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdaderas?
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(x) = 2x - 3 \text{ para } x \in (0, 1) \cup (2, \infty) \\ \text{b. } f'(x) = 2x + 3 \text{ para } x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \\ \text{c. } f'(x) = -2x - 3 \text{ para } x \in (-2, -1) \\ \text{d. } \text{Ninguna de las anteriores} \end{array} $$

Calcule:
$$\int \frac{1}{\sin^4 x \cos^4 x} dx$$

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}-1}$$

Si $\int \left( \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \right) dx = A(f(x))^{1/m} + c$, identifique los valores de $A$, $m$ y la función $f(x)$.

(a) $A = 2$ \\
(b) $m = 2$ \\
(c) $f(x) = \tan x$ \\
(d) $A + m = 5$

Dada la función:
$$ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x^2} + \frac{1}{2} \operatorname{arcsec} \frac{x}{2} $$
Encuentre su derivada con respecto a $x$.

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{2x + 5} - \sqrt{2x + 3}} $$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{6 + x - 3x^2} $$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = 4 \cos \frac{1}{2}x $$

Evaluar:
$$ \int \frac{\sin(x - a)}{\sin x} dx $$