Aprende con Inteligencia

Calcular el valor de la siguiente integral definida:
$$ \int_{0}^{3} \left( \min \left( 2x, \frac{5 - x}{2} \right) - \max \left( -\frac{x}{2}, 2x - 5 \right) \right) dx $$

Evalúe la integral:
$$\int_0^1 \sqrt{\frac{1}{x} \ln \frac{1}{x}} dx$$

Calcular la integral con la función piso (suelo):
$$\int_0^{2\pi} \lfloor 2023 \sin(x) \rfloor dx$$

Resuelva la integral:
$$\int_{-2\pi}^{2\pi} (\cos 3x + \sin 2x)(-\sin 2019x + \cos 3x) \, dx$$

Hallar la derivada de la función:
$$ y = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x $$

Si $f(x)$ satisface la relación funcional:
$$ f\left(\frac{5x-3y}{2}\right) = \frac{5f(x)-3f(y)}{2} \quad \forall x, y \in \mathbb{R} $$
y además se sabe que $f(0) = 3$ y $f'(0) = 2$, determine el periodo de la función $g(x) = \sin(f(x))$.

a. $2\pi$      b. $\pi$      c. $3\pi$      d. $4\pi$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\sin x}{\sin 3x} \, dx $$

(a) $\frac{1}{\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan x}{\sqrt{3} - \tan x} \right| + c$
(b) $\frac{1}{2\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan x}{\sqrt{3} - \tan x} \right| + c$
(c) $\log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan x}{\sqrt{3} - \tan x} \right| + c$
(d) $\frac{1}{\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan x}{\sqrt{3} \tan x} \right| + c$

Calcule la integral indefinida:
$$\int x(1-x)^{2020} dx$$

Resolver la integral:
$$ \int \frac{\sin(2x) \cos(3x)}{\sin^2 x \cos^3 x} dx $$

Determine el número de valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:
$$ \int_{-1}^{x} \left( 8t^2 + \frac{28}{3}t + 4 \right) \, dt = \frac{\frac{3}{2}x + 1}{\log_{(x+1)}(\sqrt{x+1})} $$

(a) 0 \\
(b) 1 \\
(c) 2 \\
(d) 3.

En los problemas 53 y 54, hallar la $n$-ésima derivada de la función dada:
$$ y = \frac{1}{x^2} $$

Si $\int_{0}^{f(x)} t^2 \, dt = x \cos(\pi x)$, determine el valor de $f'(9)$.

(a) $-1/9$ \\
(b) $-1/3$ \\
(c) $1/3$ \\
(d) Non existent.