Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\right)\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{8} + x\right)\right) dx$

Paso 1:
Dos barcos zarpan de un punto $A$ al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur a $15\text{ mi/h}$; el otro navega hacia el este a $25\text{ mi/h}$ durante $1\text{ h}$ y luego gira hacia el norte. Encuentre la razón de rotación de la línea que los une después de $3\text{ h}$.

Paso 1:
Una solución pasa a través de un filtro cónico de $24 \text{ in}$ de profundidad y $16 \text{ in}$ de ancho en la parte superior, hacia un recipiente cilíndrico de diámetro $12 \text{ in}$. ¿A qué velocidad sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de $12 \text{ in}$, su nivel baja a razón de $1 \text{ in/min}$?

Si $f_r(x), g_r(x), h_r(x)$ para $r = 1, 2, 3$ son polinomios tales que $f_r(a) = g_r(a) = h_r(a)$ para todo $r$, y se define:
$$F(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ g_1(x) & g_2(x) & g_3(x) \\ h_1(x) & h_2(x) & h_3(x) \end{vmatrix}$$
Halle el valor de $F'(x)$ evaluado en $x = a$.

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{x(x^3 + 1)} $$

Resolver la integral mediante el método de fracciones parciales:
$$ \int \frac{x + 24}{x^3 + 25x^2 + 144x} \, dx $$

Sean $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ tales que:
1) $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ para todos los valores de $x$ cerca de $x = a$.
2) $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A$.
Demuestre que $\lim_{x \to a} g(x) = A$. (Sugerencia: Para un $\epsilon > 0$ dado, existe un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - a| < \delta$ entonces $|f(x) - A| < \epsilon$ y $|h(x) - A| < \epsilon$, o bien $A - \epsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < A + \epsilon$).

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{8x^9}{(3x^2 - 2)^5} dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{1 + e^x} $$

Evaluar la integral de la serie infinita:
$$ \int_{0}^{1/2} \left( \sum_{n=2}^{\infty} x^n \right) \, dx $$

Si $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$, determinar $\frac{dy}{dx}$:

• [a.] $\frac{-1}{2|x|\sqrt{x^2-1}}$
• [b.] $\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [c.] $\frac{1}{2x\sqrt{x^2-1}}$
• [d.] none of these

Hallar la derivada de:
$$ y = (x - 1) \sqrt{x^2 - 2x + 2} $$