Aprende con Inteligencia

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{3\cos x + 4}{(3 + 4\cos x)^2} dx $$

Sea $f(x) = x \sin \pi x, x > 0$. Entonces para todo número natural $n$, $f'(x)$ se anula en:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + \frac{1}{2}) \\ \text{b. } & \text{un punto único en el intervalo } (n + \frac{1}{2}, n + 1) \\ \text{c. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + 1) \\ \text{d. } & \text{dos puntos en el intervalo } (n, n + 1) \end{array} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \csc^3 x \, dx $$

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2 + 2)^2}$

Si $g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$, donde $f(x)$ es un polinomio de grado $< 3$, demuestre que:
$$ \frac{dg(x)}{dx} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & a & f(a)(x-a)^{-2} \\ 1 & b & f(b)(x-b)^{-2} \\ 1 & c & f(c)(x-c)^{-2} \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} a^2 & a & 1 \\ b^2 & b & 1 \\ c^2 & c & 1 \end{vmatrix}} $$

Calcular la integral:
$$ \int \left\{ \frac{(\log x - 1)}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx $$
Nota: En este contexto, $\log x$ se refiere usualmente al logaritmo natural ($\ln x$). Al observar las opciones, corregimos el planteamiento para que coincida con la forma estándar: $\int \frac{\log x - 1}{(1 + (\log x)^2)} dx$ es poco común, la forma corregida por derivación es la opción (b).

(a) $\frac{xe^x}{1 + x^2} + c$      (b) $\frac{x e^x}{1 + (\log x)^2} + c$ \\
(c) $\frac{\log x}{1 + (\log x)^2} + c$      (d) $\frac{x}{1 + x^2} + c$

Resuelva la integral:
$$\int \frac{1-2x}{(1+x)^2 x^{2/3}} dx$$

Paso 1:
Halle la altura de un prisma triangular regular recto de volumen máximo, que se puede inscribir en una esfera de radio $R$.

Paso 1:
Investigar el comportamiento de la función $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x & x > 0 \\ x + 1 & x \le 0 \end{cases}$ cuando $x \to 0$. Dibujar una gráfica.

Paso 1:
3. (20\%) Hallar el área del triángulo que determinan: el eje x, la recta tangente y la recta normal a la curva: $y\sqrt{x} + x\sqrt{y} = 18$ en el punto $(8, 2)$.

Calcular la integral definida:
$$\int_{1}^{2022} \frac{\{x\}}{x} dx$$