Aprende con Inteligencia

Calcule la integral:
$$\int \frac{dx}{x(x^5 + 1)}$$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^9}{(2x^2 + 3)^5} dx$

Evaluar:
$$\int_{0}^{1} e^{e^x} - e^{e^x - x} \, dx$$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} $$

Calcular la integral definida:
$$\int_{0}^{4} \frac{|x-1|}{|x-2| + |x-3|} dx$$

Evaluar:
$$ \int \sin^2 x \cdot \cos^2 x \, dx $$

Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} \cdot x$. Entonces:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } f'(10) = 1 & \text{b. } f'(3/2) = -1 \\ \text{c. } \text{El dominio de } f(x) \text{ es } x \geq 1 & \text{d. } \text{El rango de } f(x) \text{ es } (-2, -1] \cup (2, \infty) \end{array} $$

Encuentre $\frac{ds}{dx}$ para la ecuación:
$$ 27ay^2 = 4(x - a)^3 $$

Hallar el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \sqrt[x/3]{\frac{3^{\text{sen } x} + 2^{3x}}{1 + \cos x}}$$

Si $y = x \log \left( \frac{x}{a + bx} \right)$, entonces $x^3 \frac{d^2y}{dx^2} =$

a. $x \frac{dy}{dx} - y$      b. $\left( x \frac{dy}{dx} - y \right)^2$      c. $y \frac{dy}{dx} - x$      d. $\left( y \frac{dy}{dx} - x \right)^2$

Paso 1:
Un cilindro circular recto está inscrito en un cono circular recto de radio $r$. Encuentre el radio $R$ del cilindro: (a) si su volumen es máximo; (b) si su área lateral es máxima.

5. Afirmación 1: Si una función derivable $f(x)$ satisface la relación $f(x) + f(x-2) = 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, y si $\left( \frac{d}{dx} f(x) \right)_{x=a} = b$, entonces $\left( \frac{d}{dx} f(x) \right)_{x=a+4000} = b$.
Afirmación 2: $f(x)$ es una función periódica con periodo 4.