Aprende con Inteligencia

Calcule la integral:
$$\int \frac{1}{1 + 3e^x} dx$$

Halle el valor reducido de la expresión $(y')^2 + y \cdot y''$ para la curva:
$$C: \begin{cases} x = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \\ y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \end{cases}$$

Paso 1:
Si $y = f(a^x)$ y $f'(\sin x) = \log_e x$, entonces halle $\frac{dy}{dx}$, si existe, donde $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Halle el límite:
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_{-1/2}^{1/2} (1-3x^2+x^4)^n dx$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{1 + x^{1/2} - x^{1/3}}{1 + x^{1/3}} dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x - \sqrt{x^2 + 9})^{10}} $$

Calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{1}{\sin^4 x \cos^4 x} \, dx $$

En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.

a. $e$      b. $2e$      c. $4e$      d. Ninguna de las anteriores

(9) Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones de números positivos. Demuestre que:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{s_n} = +\infty $$

Evaluar el siguiente límite:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{3e^x - 2e^{-x}}{2e^x + 5e^{-x}} dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x-2)^3 \sqrt{4x^2 - 16x + 20}} $$