Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Evaluate: $\int \frac{x - 1}{(x^{2/3} + x^{1/3} + 1)} dx$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 - \cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x}{\text{sen}^2 x} \right]$$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x + 1} - (x + 1)^{1/4}} $$

Calcular:
$$ \int \frac{dx}{\sin(x - \alpha) \cos(x - \beta)} $$

1.- a) Analice si $f(x) = (x - 1)^2$, $x \in [-1, 3]$ verifica o no el Teorema de Rolle.
b) Justificando su respuesta analice si existe $L = \lim_{x \to 3} \frac{x}{x - 3}$.
c) Explique cuándo resulta necesario usar la derivación implícita para calcular $y'$.
d) Si $\ln(y - 2) = x$ analice si existe relación o no entre las derivadas $\frac{dy}{dx}$, $\frac{dx}{dy}$.

2.- Para la función definida en notación paramétrica:
$$ \begin{cases} x = 3t^2 - 2t \\ y = 2t^3 - t^2 \end{cases} $$
hallar el valor reducido de la expresión: $(y')^2 - 2(y')^3 + y$

3.- Deducir la expresión de la derivada n-ésima para $f(x) = \frac{x}{(x - 4)^2}$.

5.- Calcular la integral: $I = \int x^2 \ln\left( \frac{2 + 3x}{2 - 3x} \right) dx$.

Paso 1:
Demuestre lo siguiente: Una sucesión $(s_n)$, donde $s_n > 0$ para todo $n$, diverge a $+\infty$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} (1/s_n) = 0$.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x \sqrt{5x^4 + 3}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{x + \sqrt{x^2 - 1}} $$

Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{x^{3} dx}{(2x + 3)^{2}}$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{(2 + 3 \cos x)^2} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1)^{3/2}(x + 1)^{5/2}} $$

Calcular la integral definida:
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{2 - \cos^2(x)} dx$$