Aprende con Inteligencia

Hallar la integral:
$$ \int \frac{\csc^2 x - 2005}{\cos^{2005} x} dx $$

(a) $\frac{\cot x}{\cos^{2005} x} + c$      (b) $\frac{\tan x}{\cos^{2005} x} + c$ \\
(c) $\frac{-\tan x}{\cos^{2005} x} + c$      (d) $\frac{-\cot x}{\cos^{2005} x} + c$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{\sin x - \cos x}{e^x + \sin x} dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^7 \sqrt[2]{1 + x^4}} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 3}} $$

Paso 1:
Calcular el siguiente límite: $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 - \cos x \cdot \cos 2x}{1 - \cos x} \right]$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{8}{3x^3 + 7x^2 + 4x} \, dx $$

Evaluar la integral:
$$ \int x^3 (\log x)^2 \, dx $$

Determine el valor de:
$$\int_0^{\frac{1}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{n} x^n dx$$

Evaluar la integral impropia (si existe):
$$ \int_{2}^{\infty} \frac{9}{(1 - 3z)^4} dz $$

Hallar las asíntotas de la función:
$$y = \frac{x^2 - x^3 + 1}{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 4}$$

Para cada una de las siguientes sucesiones, determine si converge y, de ser así, determine también su límite. Justifique su respuesta.
$$ \begin{array}{ll} \text{(i) } t_n = \dfrac{n^2}{n^2 - 1,000} & \text{(ii) } a_n = \sin(n\pi/2) \\ \text{(iii) } t_n = \dfrac{1}{n} \sin(n\pi/2) & \text{(iv) } t_n = \dfrac{an + b}{cn + d}, \text{ donde } a,b,c,d \neq 0 \end{array} $$

Paso 1:
El radio de un círculo debe ser medido y su área computada. Si el radio puede ser medido con un error de hasta $0.001$ in y el área debe tener una precisión de $0.1 \text{ in}^2$, encuentre el radio máximo para el cual este proceso puede ser usado.