Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Un líquido fluye hacia un tanque cilíndrico vertical de $6\text{ pies}$ de radio a razón de $8\text{ pies}^3/\text{min}$. ¿Qué tan rápido sube la superficie?

Evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \left( \frac{\cos x - \cos 2x}{1 - \cos x} \right) dx $$

Paso 1:
El producto de dos números positivos es $16$. Hallar los números $(a)$ si su suma es mínima; $(b)$ si la suma de uno y el cuadrado del otro es mínima.

Evaluar:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[5]{(x + 1)^4 (x + 3)^6}} $$

Paso 1:
Sea $f$ una función dos veces derivable tal que $f''(x) = -f(x)$, y $f'(x) = g(x)$, $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$. Encuentre $h(10)$ si $h(5) = 11$.

Determine el número de soluciones positivas que satisfacen la ecuación:
$$ \tan^{-1} \left( \frac{1}{2x + 1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4x + 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right) $$

Demuestre lo siguiente:

1. [(a)] Si $y = a \cosh \frac{x}{a}$, entonces $y'' = \frac{1}{a} \sqrt{1 + (y')^2}$.
2. [(b)] Si $y = A \cosh bx + B \sinh bx$, donde $b, A$ y $B$ son constantes, entonces $y'' = b^2 y$.

Paso 1:
Se tiene una tela de $5\text{ m}$ de largo y $75\text{ pulgadas}$ de ancho. Se requiere doblar una de las esquinas de tal forma que esta coincida con el lado opuesto. Encontrar el ángulo bajo el cual se dobla una de las esquinas si el área formada por el trazo de tela doblada es la mínima.

Evalúe la integral impropia:
$$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$$

Calcular la integral indefinida:
$$\int \frac{dx}{x^{\frac{25}{25}} \cdot x^{\frac{16}{25}} + x^{\frac{9}{25}}}$$

Al calcular la siguiente integral, utilizando la integración directa:
$$ I = \int \left[ 2x\sqrt{1+x^2} - e^{8x+12} + \frac{4x}{1-x^2} - \sqrt[5]{x^2} \right] dx $$
Se obtiene:
$$ I = -(b-3) \ln |1-x^{(a-1)}| + \frac{2}{a} (1+x^{(b-3)})^{\frac{3}{2}} - \frac{e^{cx+12}}{c} - \frac{bx^{\frac{(a+4)}{5}}}{(d-2)} + C $$
Hallar el valor de: $\left( \frac{a+b}{c} \right) d$

Paso 1:
OPTATIVA: Se traza una circunferencia de centro $(6,0)$ con radio $R$ tal que el círculo corta en ángulo recto a la elipse $4x^2 + 9y^2 = 36$. Hallar el radio de la circunferencia.