Aprende con Inteligencia

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{(x - 1) \sqrt{x + 3}} $$

Si $\int \frac{\sin x}{\sin(x - \alpha)} dx = Ax + B \log|\sin(x - \alpha)| + c$, entonces:
(a) $A = \sin \alpha$
(b) $B = \cos \alpha$
(c) $A = \cos \alpha$
(d) $B = \sin \alpha$

Calcule:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{2x^2 - 1}}$$

Paso 1:
Enunciar y probar el teorema complementario para un mínimo relativo: Si $y = f(x)$ es derivable en $a \leq x \leq b$ y $f(x)$ tiene un mínimo relativo en $x = x_0$, donde $a < x_0 < b$, entonces $f'(x_0) = 0$.

Sea $f(x) = x \sin \pi x, x > 0$. Entonces para todo número natural $n$, $f'(x)$ se anula en:
$$ \begin{array}{ll} \text{a. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + \frac{1}{2}) \\ \text{b. } & \text{un punto único en el intervalo } (n + \frac{1}{2}, n + 1) \\ \text{c. } & \text{un punto único en el intervalo } (n, n + 1) \\ \text{d. } & \text{dos puntos en el intervalo } (n, n + 1) \end{array} $$

Calcular:
$$\int (x + \sin(x) + x\cos(x) + \sin(x)\cos(x)) dx$$

Paso 1:
Hallar el radio $R$ del cono circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio $r$.

Evaluar la integral definida:
$$ \int_{0}^{7/2} \sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \frac{1}{\sqrt{x + \dots}}}}} \, dx $$

En el siguiente problema, encuentre $\frac{ds}{dx}$ y $\frac{ds}{dy}$ para la ecuación:
$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Evalúe la suma infinita de integrales:
$$\sum_{n=2}^{\infty} \int_0^{\infty} \frac{(x-1)x^n}{1+x^n+x^{n+1}+x^{2n+1}} dx$$

Resuelva:
$$\int_0^{10} [x] \left( \max_{k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} \frac{x^k}{k!} \right) dx$$

Paso 1:
Una barcaza, cuya cubierta está $10\text{ ft}$ por debajo del nivel de un muelle, es atraída mediante un cable unido a la cubierta que pasa por un anillo en el muelle. Cuando la barcaza está a $24\text{ ft}$ de distancia y se aproxima al muelle a $\frac{3}{4}\text{ ft/seg}$, ¿con qué rapidez se está recogiendo el cable?